Bayesian estimation for Life-Time distribution parameter under Compound Loss Function with Optimal Sample Size Determination

Rashed, Safwan Nathem; Al-Rassam, Raya

doi:10.33899/iqjoss.2020.0165447

	Bayesian estimation for Life-Time distribution parameter under Compound Loss Function with Optimal Sample Size Determination
IRAQI JOURNAL OF STATISTICAL SCIENCES
Article 6, Volume 17, Issue 1, 2020, Pages 34-45 PDF (1.95 M)
Document Type: Research Paper
DOI: 10.33899/iqjoss.2020.0165447
Authors
Safwan Nathem Rashed^* ; Raya Al-Rassam
Department of Statistics and Informatics, College of Computer Science and Mathematics, University of Mosul, Mosul, Iraq
Abstract
Abstract: This research aims to find Bayes estimator under symmetric and asymmetric two loss functions, such as the squared Log error loss function and entropy loss function, as well as a loss function that combines these two functions. It's called compound loss function, which is asymmetric in nature. A comparison of the Bayes estimators for scale parameter of Life-Time distribution, which includes a collection of known distributions under the compound proposed loss function, and its contained loss functions as well as the estimation of optimal sample size. Using a mean square error criterion (MSE), where the generation of the random data using the simulation for estimate Weibull distribution parameters that represents a special case of Life-Time distribution different sample sizes (n=10,50,100) and (N=1000), taking initial values for the parameters , to get to the balanced estimator that add between two loss functions.
Highlights
تعتبر دالة الخسارة المرکبة (المعدل الموزون) بین دالة الخسارة الانتروبیة الغیر المتماثلة ودالة خسارة الخطأ اللوغارتمی التربیعی المتماثلة هی تعدیل لدالة الخسارة الانتروبیة. مقدر بیز لمعلمة لتوزیع زمن الحیاة عند اختیار توزیع وایبل للتقدیر عندما تکون معلمة الشکل معلومة تحت دالة الخسارة المرکبة اکثر کفاءة عند حجم العینة صغیرة بقیم أولیة مختلفة فیها وقیمة موجبة لـk , b فان ( ) والعکس یکون اکثر کفاءة عندما یکون حجم العینة کبیر بقیم أولیة مختلفة فیها وقیمة موجبة لـk, b فان ( ). الحصول على حجم العینة البیزی الأمثل تحت دالة خسارة المرکبة (PE) باستخدام توزیع وایبل للمعلمة المختارة من توزیع زمن الحیاة نلاحظ وجود علاقة عکسیة بین کلفة المعاینة لکل وحدة C مع حجم العینة عند تغییر القیم الاولیة لـ وهذا ما موضح فی الشکل (1).
Keywords
Bays estimator; life time distribution; symmetric and asymmetric loss functions; cost function; optimum sample size

Full Text
1- المقدمة Introduction یهتم الاستدلال الإحصائی بعملیة التقدیر وفق أسالیب مختلفة ومن بینها الأسلوب المعروف بأسلوب بیز (Box and Tio,1973) الذی یوصلنا إلى اتخاذ القرار الأمثل فی حل المسائل وبأقل خطأ ممکن وتزداد أهمیته عند ارتباطه مع دوال الخسارة (Bolstad,2004) بنوعیها المتماثلة التی یکون فیها فوق التقدیر (Overestimation) متساوی مع تحت التقدیر (Underestimation) ومنها دالة خسارة التربیعیة ودالة الخسارة الخطأ اللوغارتمی التربیعی المقترحة من قبل (Brown,1968) ودوال خسارة أخرى (Mood,et al,1974) ودوال غیر متماثلة مستخدمة بشکل واسع من قبل العدید من الباحثین لأنها تعطی تقدیرات أکثر واقعیة خاصة مع بیانات الحیاة لیکون فیها فوق التقدیر(Overestimation) غیر متساوی مع تحت التقدیر(Underestimation) من بینها دالة الخسارة الأسیة الخطیة (LINEX) المقدمة من قبل (Varian,1975) والتی تم تعدیلها من قبل (Zellner,1986) الأکثر استخداماً ودالة الخسارة الانتروبیة وهی تعدیل لدالة الخسارة (LINEX) المقترحة من قبل (Calabria and Pulcini,1994) وغیرها من الدوال (العیساوی،2011) وتم اقتراح دالة أکثر توازناً وأکثر واقعیة من دوال الخسارة السابقة والتی تجمع بین دالتین متماثلة وغیر متماثلة من بینها دالة الخسارة الأسیة اللاخطیة (NLINEX) (Saiful Islam,et al.2004) و دالة الخسارة المرکبة (PE) المقترحة من قبل (العکاش،2018) والتی أخذت بنظر الاعتبار دالة خسارة الخطأ اللوغارتمی التربیعی (LogSE) ودالة الخسارة الانتروبیة (E)، ولأهمیة توزیع زمن الحیاة (Life-Time Distribution) وذلک لارتباطه مع مجموعة من التوزیعات (Kazmi,Aslam and Ali,2012) تم تقدیر معلمة القیاس لها بالاعتماد على دالة الخسارة (PE)، وتم إجراء محاکاة بأسلوب Monte Carlo لغرض تقدیر معلمة القیاس لتوزیع زمن الحیاة تحت دالة الخسارة المرکبة المقترحة ومقارنتها مع مقدرات أخرى لنفس المعلمة ولکن تحت دالة الخسارة الانتروبیة والخطأ اللوغارتمی التربیعی وذلک باستخدام أسلوب بیز مع تحدید حجم العینة الأمثل (Lindley,1997) من خلال تولید بیانات عشوائیة تحت نفس التوزیع وبأحجام مختلفة (n=10,50,100) وبتکرار قدره N=1000 مع اخذ قیمة أولیة لمعلمة القیاس للتوزیع وقیم أولیة للمعلمتین اللتان تمثلان معلمتی التوزیع السابق للمعلمة وتم استخدام نظام (MATLAB) و(MAPLE) فی الدراسة. 2- توزیع زمن الحیاة اذا کان لدینا عینة لعشوائیة x₁,x₂,…,x_n بحجم n مسحوبة من توزیع زمن الحیاة (Life-Time Distribution)(Kazmi,Aslam and Ali,2012) فان دالة الکثافة الاحتمالیة لها تأخذ الصیغة التالیة: حیث ان هی معلمة غیر معلومة، وان کل من (A,D) یمکن أن تکون معلمات لتوزیعٍ ما وبتعویض قیم مختلفة لـ(A,D) نحصل على أشکال مختلفة من التوزیعات (Prakash and Singh,2010) والموضحة بالجدول الاتی: الجدول(1): علاقة توزیع زمن الحیاة بتوزیعات الحیاة الاخرى عند تحدید کل من A,D علماً ان دالة التوزیع التراکمیة للمعادلة (1) وکذلک دالة الموثوقیة R(t) ودالة معدل الفشل h(t) عند الزمن t حیث ان t>0 معرفة على الترتیب کالاتی: 3- دوال الخسارة یتم تقییم نتائج اتخاذ القرارات باستخدام مقیاس کمی على شکل دالة تبین الخسارة لکل تولیفة من الإجراءات بین المقدر لـلمعلمة والتی تقابل الصیغة المعروفة ریاضیاً بـ (Mood,et. al.,1974) والدالة أما ان تکون متماثلة أو غیر متماثلة بالاعتماد على المقدر . * دالة خسارة الخطأ اللوغاریتمی التربیعی The Squared Log Error Loss function تم اقتراح هذه الدالة من قبل (Brown,1968) وهی من دوال الخسارة المتماثلة والتی سیتم الاخذ بها فی هذا البحث وصیغتها الریاضیة: ومقدر بیز لـ تحت دالة خسارة الخطأ أللوغاریتمی التربیعی ( ) وفق المعادلة (2) (Muhammad,et.at.2010) یکون بالصیغة الاتیة: ودالة المخاطرة اللاحقة لدالة خسارة الخطأ اللوغاریتمی التربیعی الموضحة فی المعادلة (2) ستکون: دالة الخسارة الانتروبیة Entropy Loss function فی العدید من الحالات الطبیعیة تبدو الخسارة النسبیة أکثر واقعیة، وفی هذه الحالة من المفید اعتماد دوال الخسارة غیر المتماثلة ومنها دالة الخسارة الانتروبیة وهی تعدیل لدالة الخسارة الأسیة الخطیة (LINEX) المقترحة من قبل (Varian,1975) و (Zellner,1986) والتی استخدمها (Calabria and Pulcini,1994) والصیغة الریاضیة لها: وان مقدر بیز لـ تحت دالة الخسارة الانتروبیة هی: ودالة المخاطرة اللاحقة لدالة الخسارة الانتروبیة الموضحة فی المعادلة (5) ستکون: دالة الخسارة المرکبة Compound Loss function هذه الدالة مقترحة من قبل (العکاش،2018) لها اهمیة فی حل العدید من المسائل التی یؤخذ فیها خطأ التقدیر بشکل نسبی (المقدر نسبةً إلى المعلمة ) وهی دالة غیر متماثلة بطبیعتها ویمکن ان نعبر عن هذا الخطأ بالرمز . وتکون صیغة دالة الخسارة المرکبة حسب الصیغة الأولیة المقترحة من قبل (Varian,1975) وهی: وکما نعلم ولکی تکون دالة الخسارة اقل ما یمکن فیجب أن تکون وبالتالی فان . والحد الأدنى الذی یجعل (أی من خلال اشتقاق المعرفة فی المعادلة (8) وتعویض ) سوف نحصل على نهایة صغرى للدالة ونحصل على ، بحیث تکون المشتقة الثانیة لـ أی ، وعلیه فان صیغة دالة الخسارة تکون بصیغة ابسط وبالإمکان التعامل معها وعلى النحو الآتی: المعادلة أعلاه تمثل دالة الخسارة المرکبة وهی من الدوال غیر المتماثلة ویمکن کتابتها بشکل أبسط لتسهیل العملیات الحسابیة وکالاتی: وعلیه مقدر بیز للمعلمة ( ) وتحت دالة الخسارة المرکبة (PE) یکون بالصیغة الآتیة: ودالة المخاطرة اللاحقة لمقدر بیز تحت دالة الخسارة الانتروبیة المقترحة (PE) المرکبة هی: 4- دالة الکلفة تعتبر الکلفة من المسائل المهمة فی إی دراسة والتی نهدف عادة إلى جعلها اقل ما یمکن لذلک سوف نستخدم فی هذا البحث دالة الکلفة الخطیة (Linear Cost function) تکون فیها و وصیغتها (Lindley ,1972): وان هی کلفة إعداد المعاینة أو إی کلف أخرى ذات علاقة بأخذ العینة و هی کلفة المعاینة لکل مشاهدة. وباستخدام أسلوب بیز نحتاج تقدیر حجم العینة بالاعتماد على الکلفة الکلیة والتی یمکن حسابها بالصیغة الآتیة عندما لا تحتوی على المشاهدات . .(Saiful Islam, 2011) إذ إن تمثل دالة المخاطرة اللاحقة (Posterior Risk) والتی تمثل القیمة المتوقعة لدالة الخسارة. أما إذا احتوت دالة الکلفة الکلیة على المشاهداتX)) ففی هذه الحالة نأخذ التوقع لدالة المخاطرة اللاحقة ونظیف لها دالة الکلفة لنحصل على متوسط الکلفة الکلیة وکالاتی: وعلیه نشتق القیمة المتوقعة للکلفة الکلیة بالنسبة إلى n ومساواتها بالصفر لنجد حجم عینة بیز. 5- تقدیر معلمة القیاس لتوزیع زمن الحیاة بتوفر المعلومات عن العینة العشوائیة بحجم n المأخوذة من توزیع (Life-Time Distribution) بمعلمة غیر معلومة، الموضحة فی المعادلة (1) وبالاعتماد على نظریة بیز فی التقدیر وتوفر المعلومات حول المعلمة فان دالة الامکان لـ n من مشاهدات العینة العشوائیة تکون کالاتی: وان التوزیع الاولی المرافق (Conjugate Prior) للمعلمة سوف یتبع توزیع معکوس کاما بالمعلمتین ودالة الکثافة الاحتمالیة هی: وبدمج المعلومات حول المعلمة مع معلومات العینة سوف نحصل على التوزیع اللاحق لـ وفق نظریة بیز کالاتی. وعلیه فان وعلیه فان التوزیع اللاحق للمعلمة سوف یتبع توزیع معکوس کاما ودالة الکثافة الاحتمالیة اللاحقة لـ هی: إذ أن: التوقع والتباین اللاحق للمعلمة على التوالی کالاتی: ولإیجاد مقدر بیز تحت دالة الخسارة المرکبة (PE) المعرفة فی المعادلة (10) سوف یتم ایجاد مقدر بیز تحت دالة الخسارة الانتروبیة (E) والموضح فی المعادلة (6) وتحت دالة خسارة الخطأ الوغاریتمی التربیعی (LogSE) والموضح فی المعادلة (3) وعلى النحو الاتی: وبالتعویض عن التوزیع الاحتمالی اللاحق لـ المعرف فی المعادلة (13) نحصل على: أما مقدر بیز للمعلمة تحت دالة خسارة الخطأ الوغاریتمی التربیعی (LogSE) ستکون: بافتراض ان وتعریف متغیر عشوائی متقابل هو: إذ ان وباستخدام التحویلات لـ معتمدین على المشتقة الاولى لـ (Digamma Function) (Lanping,2013) نحصل على: إذن علماً ان: وبالتعویض عن N وQ نحصل على: وعلیه فان مقدر بیز تحت دالة الخسارة المرکبة (PE) وفق المعادلة (10) بعد تعویض ناتج المعادلة (18) و(20) لنحصل على: وقام الباحث باستنتاج مقدرات بیز تحت دالة الخسارة الانتروبیة المقترحة المرکبة لتوزیعات زمن الحیاة عند تحدید قیم A,D (Prakash and Singh,2010) والموضحة بالجدول الاتی: الجدول(2): مقدر بیز لکل توزیع تحت دالة خسارة PE عند تحدید کل من A,D الموضحة فی الجدول (1) 6- تحدید حجم عینة بیز تحت دالة الخسارة المرکبة بعد حصولنا على المعطیات السابقة المتمثلة بمقدر بیز تحت دالة الخسارة المرکبة فی المعادلة (21) یتم ایجاد دالة المخاطرة اللاحقة لغرض ایجاد حجم العینة الامثل حیث یتم الحصول على وبالصیغة الاتیة: وباتباع نفس الاسلوب باستخدام التحویلات لـ(Digamma Function)(Lanping,2013) بعد افتراض ان وتعریف نحصل على: وبما ان المشتقة الثانیة لـ یعبر عنها بالصیغة التالیة: وبالتعویض عن قیمة N وQ فی المعادلات اعلاه لإیجاد نحصل على. وبتعویض ناتج المعادلة (22) فی المعادلة (12) التی تمثل الکلفة الکلیة وکالاتی: ولغرض التبسیط نفرض ان: وبإجراء بعض التبسیطات لدالة الکلفة الکلیة نحصل على: نلاحظ من دالة الکلفة الکلیة TC(n) اعلاه أنها تعتمد على المتغیر X_i من خلال وجودها فی ( ) لذلک لابد من التخلص منهُ ومن المعلمات المجهولة قبل اخذ التوقع لدالة الکلفة الکلیة سوف تقرب باستخدام توسیع ماکلورین لغایة الرتبة الثانیة لنحصل على(العکاش،2018). وبتعویض الناتج اعلاه بدالة الکلفة الکلیة لنحصل على: وبأخذ التوقع لدالة الکلفة الکلیة TC(n) التقریبیة نسبة للمشاهدات لنحصل على: علماً أن و إذن : وبتعویض المعادلتین (25) و(26) فی توسیع ماکلورین سوف نحصل على: ومن تعویض المعادلتین (23) و(27) فی دالة الکلفة الکلیة التقریبیة الموضحة فی المعادلة (24) نحصل على: وبأخذ المشتقة الاولى للمعادلة (28) نسبةً الى n ومساواتها بالصفر فضلاً عن اخذ المشتقة الثانیة للمعادلة (28) وکانت اکبر من الصفر مما یجعل دالة الکلفة الکلیة التقریبیة فی نهایتها الصغرى. لذلک تم استخدام الطرق العددیة للحصول على حجم العینة الامثل تحت دالة الخسارة المرکبة PE نسبةً الى توزیع زمن الحیاة (Life-Time distribution) ومنها سوف نتوصل الى احجام العینة المثلى لمجموعة من التوزیعات الخاصة والموضحة فی الجدول (1). 7- مقدر بیز لدالة الموثوقیة R(t) لإیجاد مقدر بیز لدالة الموثوقیة R(t) تحت دالة الخسارة المرکبة PE وفقال معادلة (10) نسبةً الى R(t) ونبدأها بإیجاد مقدر بیز لدالة الموثوقیة تحت دالة الخسارة الانتروبیة E (Boudjerda and Merradj,2013) وفق الصیغة الریاضیة الاتیة: إذ أن یمثل دالة الکثافة الاحتمالیة اللاحقة لـ الموضحة فی المعادلة (16) وان لنحصل على: اما مقدر بیز لدالة الموثوقیة R(t) تحت دالة خسارة الخطأ اللوغارتیمی التربیعی LogSE یتم ایجادها کما فی الصیغة الاتیة: إذ أن یمثل دالة الکثافة الاحتمالیة اللاحقة لـ فان: وبتعویض المعادلتین (29) و (30) فی المعادلة (10) نحصل على: 8- مقدر بیز لدالة معدل الفشل h(t) یتم ایجاد مقدر بیز لدالة معدل الفشل تحت دالة الخسارة المرکبة وفق المعادلة (10) وبالاعتماد على دالة الکثافة الاحتمالیة اللاحقة لـ الموضحة فی المعادلة (16) سیتم ایجاد اولاً مقدر بیز لـ h(t)تحت دالة الخسارة الانتروبیة E وحسب الصیغة الریاضیة الاتیة: الان یتم ایجاد مقدر بیز لدالة معدل الفشل h(t) تحت دالة خسارة الخطأ اللوغارتیمی التربیعی LogSE وفق الصیغة الاتیة: وبنفس الاسلوب المتبع یتم اجراء التحویلات المناسبة معتمدین فیها على المشتقة الاولى (Digamma Function) لنحصل على: وبتعویض المعادلتین (32) و (33) فی المعادلة (10) نحصل على: 9- الجانب التطبیقی. تم تولید بیانات باستخدام احدى طرق المحاکاة (Monte Carlo) بإحجام مختلفة (n=10,50,100) من خلال اختیار توزیع من توزیعات ازمنة الحیاة الموضحة فی الجدول (1) والمتمثل بتوزیع وایبل (Weibull Distribution ,A=1,D= is known) مع أخذ قیم افتراضیة للمعلمات الخاصة بالتوزیع بالإضافة إلى إعطاء قیم أولیة للمعلمات ومعلمة دالة الخسارة والخاصة بالتقدیر وتم تکرار التجربة (N=1000) لغرض الحصول على مقدرات للمعلمة عندما تکون معلمة الشکل معلومة تحت دالة الخسارة المرکبة (PE) وکذلک مقدرات المعلمة تحت دالة خسارة الخطأ اللوغارتیمی التربیعی (LogSE) ودالة خسارة الانتروبیة (E) حسب المعادلات (18) و(20) و(21) وباستخدام معیار للمقارنة (متوسط مربعات الخطأ (MSE)) الموضحة فی الجدول (2) و (3) فضلاً عن تحدید حجم العینة الأمثل تحت دالة الخسارة المرکبة (PE) وحسب المعادلة (28) الموضحة فی الجدول (3)، وتم استخدام برنامج MATLAB و MAPLE للوصول الى النتائج المطلوبة، علما ان القیمة الافتراضیة لکلفة المعاینة لکل وحدة هی C=0.001. الجدول (2): مقارنة مقدرات بیز تحت دالة الخسارة (LogSE) و(E) و(PE) بقیم أولیة الجدول (3): مقارنة مقدرات بیز تحت دالة الخسارة (LogSE) و(E) و(PE) بقیم أولیة جدول(3):مقارنة مقدرات بیز تحت دالة الخسارة (LogSE) و(E) و(PE) باستخدام حجم العینة الامثل الشکل (1): علاقة حجم العینة الامثل مع تغیر کلفة معاینة لکل وحدة C 10- الاستنتاجات تعتبر دالة الخسارة المرکبة (المعدل الموزون) بین دالة الخسارة الانتروبیة الغیر المتماثلة ودالة خسارة الخطأ اللوغارتمی التربیعی المتماثلة هی تعدیل لدالة الخسارة الانتروبیة. مقدر بیز لمعلمة لتوزیع زمن الحیاة عند اختیار توزیع وایبل للتقدیر عندما تکون معلمة الشکل معلومة تحت دالة الخسارة المرکبة اکثر کفاءة عند حجم العینة صغیرة بقیم أولیة مختلفة فیها وقیمة موجبة لـk , b فان ( ) والعکس یکون اکثر کفاءة عندما یکون حجم العینة کبیر بقیم أولیة مختلفة فیها وقیمة موجبة لـk, b فان ( ). الحصول على حجم العینة البیزی الأمثل تحت دالة خسارة المرکبة (PE) باستخدام توزیع وایبل للمعلمة المختارة من توزیع زمن الحیاة نلاحظ وجود علاقة عکسیة بین کلفة المعاینة لکل وحدة C مع حجم العینة عند تغییر القیم الاولیة لـ وهذا ما موضح فی الشکل (1).
References
Al-Akash, S. N. Rashid, (2018), “Bayesian estimation of the parameters of some failure distributions, determining the optimal sample size under two compound loss functions,” an unpublished doctoral thesis, Department of Statistics and Informatics - College of Computer Science and Mathematics, University of Mosul, Iraq. Al-Issawi, Iqbal Jabbar, (2011), “Comparison of Standard Bease Estimates for the Exponential Distribution Parameter Using Different Loss Functions,” Al-Mustansiriya Science Journal, Journal (22), Issue (7), 61-74. Bolstad, W.M.,(2004),”Introdiaction to Bayesian Statistics”, A John Wiley & Sons, INC., Publication, Wiley- Interscience. Boudjerda, K., Chadli, A. and Merradji, A.,(2013),”Bayesian Estimation of the Rayleigh Distribution under Different Loss Function”, Electronic Journal of Applied Statistical Analysis, Vol. (2), No.(3), pp 1-35. Box, G. E. P. and Tiao, G. C., (1973), "Bayesian Inference in Statistical Analysis", Addition –Wesley Publishing Company, California, London. Brown, L.,(1968),”Inadmissibility of the Usual Estimation of scal Parameters in Problems with Unknown Location and scale Parameters”, Ann Mathematics statistics, Vol.(39), No.(1), pp 29-48 Calabria, R. and Pulcini, G.,(1994),”An Engineering Approach to Bayes Estimation for the Weibull Distribution”, Micro-electron, Reliab. Vol.( 34), No.(5), pp 789-802. Kazmi, A.S.,Aslam, M. and Ali, S.,(2012),”Preference of Prior for the Class of Life-Time distribution under different Loss function”, Pakistan Journal of statistics, Vol.(28), No.(4), pp 467-484. Kifayat, T, Aslam, M and Ali, S,(2012),” bayesian inference for the Parameter of the power Distribution”, Journal of Reliability and Statistical Studies, Vol.(5), No.(2), pp 45-58. Lanping Li, (2013),”Minimax Estimation of Parameter of Generalized Exponential Distribution under Square Log Error Loss and MLINEX Loss function”, Research Journal of Mathematics and Statistics, Vol.( 5), No.(3), pp 24-27. Lindley, D. V.,(1997),” The Choice of Sample Size”, Journal of the Royal Statistical Society. Series, Vol. (46), No. (2), pp. 129-138. Lindley, D.V.,(1972),”A Class of Utility Function”, the Annals of statistics, Vol.(4), No.(1), pp 1-10. Mood, A. ,Graybill, F.A. and Bose, D. ,(1974),”Introduction to the Theory of Statistics”, Mc Gram-Hill series in probability and statistics. Muhammad, S.A. ,Kundu, D. and Ali , S. M.,(2010),” Bayesian Estimation of the Mixture of Generalized Exponential Distribution using the Censored Sample under Different Loss Functions”,AMS classification,pp 1-24. Prakash, G. and Singh, D.C. ,(2010),”Bayesian Shrinkage estimation in a Class of Life Testing Distribution”, Data Science Journal, Vol.(8), No.(30), pp 243-258. Saiful Islam, A.F.M., Roy, M. and Ali, M.M.,(2004),”A Non-Linear Exponential (NLINEX) Loss Function in Bayesian”, Journal of the Korean Data and information science society, Vol. (15), No. (4), pp 899-910. Saiful Islam, A.F.M.,(2011),”Loss Function, Utility Function and Bayesian Sample Size Determination”, Ph.D. thesis, University of London. Varian, H.R.,(1975),”A Bayesian Approach to Real Estate Assessment”, in studies in Bayesian Econometrics and statistics in Honour of Leoard J. savage.eds. Stephen E. Fienberg Arnold Zellner, Amsterdam, North Holland, pp 195-208. Zellner, A.,(1986),”Bayesian Estimation & Prediction Using Asymmetric Loss Function”, Journal of American statistics Association, Vol. (81), No.(394), pp 446-451.
Statistics Article View: 439 PDF Download: 442