Output Error Dynamic Models Identification and Transfer Function - A comparative study -

1. The time series of the input and output data was a seasonal series and stable in contrast because there were no fluctuations in it. It was also found through the autocorrelation and partial autocorrelation functions that it is seasonally unstable. This was treated by taking the seasonal difference of the input and output series
2. When building the transfer function model, it was found that the appropriate model, after reconciling several models for the two series of inputs and outputs, is a seasonal multiplier model SARIMA (p, d, q) (P, D, Q)12, and the best model was diagnosed based on the MSE value and examining the residuals.
3. From observing the results in Table (1), it was found that the (BJ) model, which describes the relationship between the output variable (y), which represents the maximum temperature, and the input variable (x), which represents the solar brightness, gave fewer values for the statistical criteria than it is in the function model. the transfer.

1. المقدمة : Introduction     

یعتبر موضوع تحلیل السلاسل الزمنیة Time Series Analysis من المواضیع الإحصائیة المهمة والأساسیة لکونها تستحوذ على اهتمام الکثیر من متخذی القرارات فی مختلف الاختصاصات.

ان نموذج السلسلة الزمنیة یعتمد بالدرجة الأولى على عنصر الزمن کعامل مستقل لتحدید وتفسیر الظاهرة المدروسة واستعمال قیم المتغیر التابع لفترات سابقة أی سلوک هذا المتغیر فی الماضی، وان نموذج السلسلة الزمنیة الذی یحوی على متغیر واحد یدعى بنموذج سلسلة زمنیة ذی متغیر واحد، تستخدم فیه البیانات الحالیة والسابقة عن متغیر واحد فقط، أما نموذج السلسلة الزمنیة الذی یستخدم متغیرات اخرى لوصف سلوک السلسلة الزمنیة فیدعى بنموذج السلسلة الزمنیة المتعدد المتغیرات [11].

1. هدف البحث: Objective Research

یهدف البحث الى تشخیص نموذج دالة التحویل لعناصر المناخ من خلال ادخال منفرد واخراج منفرد. وتشخیص نماذج النظم الدینامیکیة بمعلمات مختلفة لنماذج خطأ المخرجات والمتمثلة بنموذج (OE) ونموذج (BJ) ومن ثم مقارنة  النتائج من خلال بعض المعاییر الإحصائیة.

1. دالة التحویلTransfer Function :

ان تطویر النماذج الریاضیة یعتبر أول خطوة فی التصمیم ویعد الخطوة الحاسمة لتصمیم ای نظام لتطویر نموذج ریاضی للنظام المراد السیطرة علیه، اذ ان الاهتمام بالجانب الإحصائی یهتم بالدرجة الاساسیة على نماذج دالة التحویل التی تتضمن مدخلا واحدا ومخرجا واحدا عندئذ تسمى بنماذج دالة التحویل أحادیة المتغیر(univariate) وقد تتضمن نماذج دالة التحویل مخرجا واحدا وعددا من المدخلات وایضا قد تتکون نماذج دالة التحویل من عدد من المخرجات وعدد من المدخلات عندئذ تسمى بنماذج دالة التحویل متعددة المتغیرات[5]، یمکن کتابة صیغة دالة التحویل کالآتی[9]:

إذ ان:

: تمثل الحد الثابت.  : تمثل سلسلة المدخلات ، : تمثل سلسلة المخرجات، : تمثل حد الازعاج.

اذ ان  تشیر الى دالة التحویل الخاصة بنماذج بوکس-جنکنز ای ان  تمثل أوزان الاستجابة النبضیة.

4. دالة الاستجابة النبضیة  Impulse Response Function

     تعتبر دالة الاستجابة النبضیة مؤشر للعلاقة بین المدخلات والمخرجات، وان اوزان نبضات الاستجابة  تمثل الأثر الذی یحدث فی سلسلة المخرجات نتیجة لتغیر سلسلة المدخلات بوحدة واحدة، إذ یمکن کتابة دالة الاستجابة النبضیة لتوزیع الإزاحات الخطیة فی شکل عامل الإزاحة الخلفی من خلال تعریف فأن:

ویطلق على مجموع أوزان الاستجابة النبضیة أسم عائد حالة الاستقرار (Steady State Gain)، إذا تحقق الشرط الاتی:

إذ أن:

  : تمثل التغیر الکلی (التغیر المتراکم على مر الزمن) فی سلسلة المخرجات الناتج من تغیر سلسلة المدخلات بوحدة واحد [4] [12].

5.زمن التأخیرDelay Tim

یمثل التخلف الزمنی العادی الذی یحدث فی المخرجات Y_t نتیجة للتغیر الذی حدث فی المدخلات X_t ،عادة یشار الى زمن التأخیر بالرمز b،إذ إن b عدد صحیح موجب وفی بعض الأحیان یسمى بالزمن المیت(Dead Time) وبإمکاننا إیجاد قیمة bعند رسم الارتباط المتقاطع بین سلسلة المدخلات X_t وسلسلة المخرجات Y_t حیث ان اول قیمة معنویة تقع خارج فترة الثقة تمثل زمن التأخیر b، ویعد تقدیر زمن التأخیر متطلبا أساسیا یجب تقدیره قبل البدء بتحدید النموذج المناسب الذی یمثل النظام أو العملیة، حیث یکون زمن التأخیر ذا تأثیر مباشر فی عملیة تحدید النموذج الذی یصف النظام بصورة دقیقة ویوضح ألیة عمل النظام [3] [12].

6. أسلوب بوکس_ جنکنز فی تحلیل نماذج دالة التحویل    Box-Jenkins Methodology in Transfer Models Analysis

هناک ثلاث مراحل لبناء نموذج دالة التحویل، من خلال الخوارزمیة التی وضعها Box-Jenkins فی بناء السلسلة الزمنیة، وبالاعتماد على معلومات سلسلة المدخلات والمخرجات  على التوالی، إذ یمکن تلخیص هذه المراحل بما یأتی:

1. تشخیص نموذج دالة التحویلIdentification of Transfer Function Model

الخطوة الأولى فی بناء نموذج Box Jenkins هی فحص سلسلة المدخلات والمخرجات من حیث استقراریة السلسلة فی الوسط والتباین، بعد التأکد من استقراریة السلسلة تبدأ مرحلة تشخیص النموذج والمتمثلة بالخطوات الأتیة [9]:

1. تقدیر أوزان دالة التحویل Estimation of Transfer Function Weights

     یتم تقدیر أوزان دالة التحویل عن طریق :

أ. دالة الارتباط المتقاطع Cross Correlation Function

ب. دالة التحویل الخطیة Linear Transfer Function Method(LIF)  

1. تحدید رتب نموذج دالة التحویل Specifying Order for Transfer Function Mode

     بعد تقدیر أوزان دالة التحویل یتم حساب رتب(r,s,b) لنموذج دالة التحویل أی حساب النسبة کما یلی:

حیث(b) تمثل زمن التأخیر فی الاتجاه الموجب لدالة الارتباط الذاتی وهو الزمن الذی تنعدم عنده معنویة الارتباطات بدالة الارتباط التقاطعیة، (s) تمثل رتبة بسط دالة التحویل، (r) تمثل رتبة مقام دالة التحویل ویتم تحدیدهما من خلال الارتباطات التقاطعیة المعنویة بدالة الارتباط التقاطعیة (Cross Correlation  Function)  للسلاسل المفلترة.

1. تحدید نموذجARMAلحد الازعاج  Determination of the ARMA Model for the Disturbance Term.:

     بعد تقدیر أوزان دالة التحویل الخطوة التالیة هی تحدید نموذج ARMA المناسب لحد الازعاج ، ویجب حساب القیم التقدیریة لسلسلة الإزعاج ، من خلال النموذج الاتی [6] [12]:

وان النموذج الملائم یمکن تحدیده من خلال فحص دالة الارتباط الذاتی ACF ودالة الارتباط الذاتی الجزئیPACF لسلسلة الإزعاج  للحصول على:

وفی حالة اذا کانت سلسلة الازعاج تتبع نموذج SARMA الموسمی المضاعف، یمکن الحصول على سلسلة البواقی  التی تمثل حد الازعاج ویعبر عنها کالاتی:

1. تقدیر معلمات نموذج دالة التحویل   Parameters Estimation of Transfer Function Model

بعد ان تم التعرف على شکل نموذج دالة التحویل وتحدید نموذج الازعاج، یتم فی هذه الخطوة تقدیر جمیع المعلمات الموجودة فی النموذج الاتی [1] [2]:

1. التحقق من دقة تشخیص النموذج Diagnostic Checking of the Model

     بعد أن تم تحدید شکل نموذج دالة التحویل وتقدیر جمیع معلماته، لابد من اختبار النموذج ویتم عن طریق، اختبار دالة الارتباط الذاتی  ودالة الارتباط الذاتی الجزئی لسلسلة البواقی  یجب أن تکون عملیة حد الازعاج، فأن جمیع الارتباطات الذاتیة لها یجب أن تکون غیر معنویة، بمعنى ان جمیع الارتباطات الذاتیة والذاتیة الجزئیة تقع داخل حدود الثقة، کذلک یجب اختبار دالة الارتباط المتقاطع بین سلسلة البواقی وسلسلة المدخلات التی اجری لها إعادة التبیض ،فالتحقق شرط استقلالیة السلسلتین یکون من خلال عدم معنویة الارتباطات المتقاطعة بین السلسلتین کافة، واذا لم یتحقق ذلک فیجب اعادة صیاغة النموذج وذلک بتشخیص نموذج اخر[4] [9].

7. النظم الدینامیکیة     Dynamic Systems

یعرف النظام بأنه تفاعل مجموعة من المتغیرات المختلفة التی تنتج اشارات واضحة وهذه الاشارات قد تکون ذات فائدة وتوصف بالمخرجات (output). فضلا عن ذلک یتأثر النظام بمؤثرات خارجیة تعالج من قبل المستخدم وتوصف بالمدخلات (input). ومنها اشارات خارجیة غیر مسیطر علیها وتوصف بالاضطرابات او الازعاجات (disturbance). ویتم تصنیف الاضطرابات الى صنفین حیث بعضها یقاس بصورة مباشرة وبعضها الاخر یلاحظ فقط من خلال تأثیرها على المخرجات [8].

8. طرق تقدیر زمن التأخیر فی النظم الدینامیکیة

        یوجد عدد من الطرق لتقدیر زمن التأخیر فی النظم الدینامیکیة منها:

1. دالة الارتباط المضاعف (الارتباط المستعرض) Cross Correlation Function
2. دالة الاستجابة النبضیةImpulse Response Function

3. استخدام نماذج الانحدار الذاتی بمدخلات اضافیة Autoregressive with Exogenous in puts Models (ARX)

9. نماذج النظم الدینامیکیة     Dynamic System Models

یترکب النموذج الدینامیکی العام General Dynamic Model الذی تشتق منه کل النماذج الدینامیکیة Dynamic Model والذی غالبا لا یطبق عملیا لأنه یمثل الهیکلیة الموحدة للأنظمة الدینامیکیة حیث یتم حساب المخرجات  للنظام الدینامیکی عند الزمن  من خلال ترشیح المدخلات  بمرشح خطی یرمز له G(B) والذی یسمى بالجزء المحدد ویسمى أیضا بدالة تحویل المدخلات Input Transfer Function، فضلا عن ترشیح حد الازعاج الذی یرمز له  بمرشح خطی أخر یرمز له بــ  ویسمى بدالة تحویل الازعاجNoise Transfer Function ویسمى بالجزء الدینامیکی، علیه یمکن تمثیل النموذج الخطی العام بالجزئین المحدد والدینامیکی بالشکل الاتی:

ویمکن تمثیل هذا النموذج من خلال متعددات الحدود وهی تراکیب دینامیکیة Dynamic Combination کالاتی:

إذ ان:

وأن (nf, nd,nc,nb,na) عدد معلمات متعددات الحدود ,C(B),B(B),A(B) F(B),D(B)على التوالی، وان  یمثل عامل الازاحة الخلفی Backword shift بمعنى  

وتقسم نماذج النظم الدینامیکیة الى قسمین:

1. نماذج خطأ المعادلة Equation Error Models

    تضم نموذج الانحدار الذاتی مع مدخلات اضافیة ARX ونموذج الانحدار الذاتی والمتوسطات المتحرکة مع مدخلات اضافیة ARMAX، ویمکن تمثیل نموذج ARX  بالشکل الاتی:

أما نموذج ARMAX فیمکن تمثیله بالشکل الاتی:

1. نماذج خطأ المخرجاتOutput Error Models

 تشمل کل من نموذج خطأ المخرجات output error ویرمز له بالرمزOE ونموذج بوکس_جنکنز Box Jenkins ویرمز له بالرمز BJ، وتتمیز هذه النماذج بوجود نموذج الازعاج الذی لا یحوی على عملیة دینامیکیة وبذلک فأن من المفترض أن یؤثر حد الازعاج على مخرجات العملیة مباشرة، بمعنى أخر ان نماذج خطأ المخرجات تتمیز بأن نموذج حد الازعاج فیها مستقل عن نموذج العملیة المحددة  ویمکن تمثیل نموذج خطأ المخرجاتOE بالصیغة الاتیة [10]:

أما نموذج بوکس-جنکنز فیمکن تمثیله بالصیغة الأتیة:

10. المعاییر الإحصائیة لاختیار أفضل نموذج

فی تحلیل السلسلة الزمنیة قد تکون هناک نماذج عدیدة یمکن ان تستخدم فی تمثیل مجموعة من البیانات وان اختیار أفضل نموذج یمثل البیانات یعتمد على خبرة الباحث ویمکن اعتبار المعاییر الإحصائیة لاختیار أفضل نموذج أداة مفیدة جدا فی هذا الاختیار ومن هذه المعاییر:

1. معیار معلومات أکاکی: (AIC) Akaike’s Information Criterions

یستخدم هذا المعیار للمفاضلة بین النماذج واختیار أحدها لتمثیل حد الإزعاج حیث یتم حساب قیمة AIC للنماذج التی اجتازت الفحوص التشخیصیة ومن ثم اختیار النموذج ذو أقل قیمة AIC لیکون النموذج الأفضل، الصیغة العامة لهذا المعیار کالاتی [9] [10]:

إذ ان:  : عدد المعلمات المقدرة فی النموذج،    : تباین الخطأ.

1. معیار خطأ التنبؤ النهائی لاکاکی(FPE)Akaike’s Final Prediction Error Criterions

  یعد من المعاییر المهمة فی تحدید الرتبة المناسبة للنموذج، ویحسب بالصیغة الاتیة[7]:

إذ ان: : تباین الخطأ، : عدد المشاهدات، : عدد المعلمات المقدرة فی النموذج.

3. دالة الخسارة:Loss Function

 تعرف فی بعض الأحیان بدالة الکلفة cost Function حیث تعد المتطلب الأساس الأفضل فی اختیار رتبة النموذج من خلال ملاحظة سلوک هذه الدالة مع زیادة رتبة النموذج وتحسب بالصیغة الاتیة:

إذ ان:       : دالة الکلفة،  : عدد المشاهدات.

1. معیار المطابقةFitting criteria:

     وهو مقیاس لمعرفة دقة النموذج کنسبة مئویة وتحسب هذه النسبة بالصیغة الاتیة [8]:

إذ ان:  : قیم المخرجات الحقیقیة، : القیم التقدیریة المکونة من النموذج

: الوسط الحسابی لمشاهدات سلسلة المخرجات المستخدمة فی تکوین النموذج.

11. الجانب التطبیقی

فی هذا البحث تم استخدام بیانات مناخیة والتی یتم تهیئتها وهی التی تمثل المدخلات (السطوع الشمسی) والمخرجات )درجة الحرارة العظمى) وتتضمن 264 مشاهدة من المدخلات والمخرجات ویمکن تمثیل سلسلة بیانات المدخلات والمخرجات بالشکلین (1) و(2) الاتیین:

نلاحظ من الشکلین (1) و(2) عدم استقراریة السلسلتین إذا تم اخذ الفرق الموسمی للسلسلتین لجعلها مستقرة موسمیا وکما موضح بالشکلین (3)و(4)الآتیین:

بعد تهیئة سلسلتی المدخلات  والمخرجات  یتم تنقیتهما، إذ یتم تنقیة سلسلة المدخلات من خلال تحدید النموذج الملائم لها للحصول على سلسلة البواقی، وذلک بملاحظة سلوک دالتی الارتباط الذاتی والذاتی الجزئی، وبعد استقراریة السلسلة إذ تبین ان السلسلة المستقرة تتبع نموذج

 SARIMA (1,0,0) (0,0,1)₁₂الذی یمتلک اقل MSE وتساوی 0.699)) وان القیمة التقدیریة للمعلمتین هما:  ولغرض فحص مدى ملائمة النموذج فقد تم فحص البواقی (Residuals) من خلال رسم دالة الارتباط الذاتی لبواقی المدخلات ودالة الارتباط الذاتی الجزئی لبواقی المدخلات الموضحة فی الشکلین (5)و(6) الاتیین:

وبتطبیق النماذج الدینامیکیة نماذج خطأ المخرجاتBJ,OE تم توفیق العدید من النماذج بمعلمات متعددة ومختلفة لکل نموذج من النماذج الدینامیکیة واختیار افضل نموذج حسب المعاییر الإحصائیة AIC,FPE,LOSS Function لنماذج خطأ المخرجات المتمثلة بنموذج BJ ونماذج دالة التحویل إذ نلاحظ من الجدول(1) إن التشخیص باستخدام نموذج BJ یعطی نتائج افضل من التشخیص باستخدام نموذج دالة التحویل، إذ ان قیمة AIC)) لنموذج BJ اقل من قیمتها فی نموذج دالة التحویل، کذلک فأن قیمة خطأ التنبؤ النهائی لاکاکی (FPE) فی نموذج BJ اقل من قیمتها فی نموذج دالة التحویل، کذلک فأن قیمة متوسط مربعات الخطأ (MSE) لنموذج BJ أقل من قیمتها فی نموذج دالة التحویل.

جدول (1 ): قیم المعاییر الاحصائیة لنموذج BJ ونموذج دالة التحویل

12. الاستنتاجات

1. السلاسل الزمنیة لبیانات المدخلات والمخرجات کانت سلسلة موسمیة ومستقرة بالتباین لعدم وجود ای تذبذبات فیها وکذلک تبین من خلال دالتی الارتباط الذاتی والذاتی الجزئی انها غیر مستقرة موسمیا وتم علاج ذلک بأخذ الفرق الموسمی لسلسلتی المدخلات والمخرجات.
2. عند بناء نموذج دالة التحویل تبین ان النموذج الملائم بعد توفیق عدة نماذج لسلسلتی المدخلات والمخرجات عبارة عن نموذج موسمی مضاعفSARIMA (p,d,q)(P,D,Q)₁₂ وتم تشخیص افضل نموذج بالاعتماد على قیمة MSE وفحص البواقی.

من ملاحظة النتائج فی الجدول (1) تبین ان نموذج (BJ) الذی یصف العلاقة بین متغیر الأخراج (y) الذی یمثل درجة الحرارة العظمى ومتغیر الأدخال (x) الذی یمثل السطوع الشمسی أعطى قیما للمعاییر الإحصائیة اقل مما هی علیه فی نموذج دالة التحویل.