Employing Robust MM-estimators in Estimating Principal Component Regression Model - A Comparative Study-

1- المقدمةIntroduction   

یعتبر استخدام انحدار المکونات الرئیسیة واحدة من طرق التقدیر التی تعالج مشکلة تعـدد العلاقة الخطـیة والـتی تحـدث فی کثـیر مـن النمـاذج القیاسـیة، وجـوهر هـذه الطریقـة هو أنها تسـتبدل المتغـیرات المسـتقلة الـتی تعـانی مـن مشکلة التعدد الخطی بمکونات رئیسیة تعبر عنها لتوفیق نموذج الانحدار، وطریقة المکونات الرئیسیة واحدة من النماذج الخطیة المتحیزة واسعة الاستخدام وتقوم على فکرة تحویل المتغیرات التفسیریة إلى متغیرات جدیدة متعامدة دون حـذف أی منهــا تسمى بالمکونات (المرکبات) الرئیسیة، وکـل مکون رئیسـی عبـارة عـن ترکیـب خطـی فی المتغـیرات المسـتقلة الأصـلیة. وتعتبر عملیة إیجاد المکونات الرئیسیة خطوة مهمـة لإزالـة أثـر التعـدد الخطـی تمهیـداً لاسـتخدام طریقـة المربعـات الصـغرى الاعتیادیـة لتقدیر معالم نموذج الانحدار الخطی الأصلیة للمتغیرات التفسیریة التی یستعاض عنها بالمکونات الرئیسیة.(الشیخ،2014) وقد کان اهتمام الباحثین لإیجاد طرائق ذات کفاءة أعلى ولا تتأثر کثیراً بالقیم الشاذة أو بالانحراف عن الافتراضات کبدائل عن الطرق التقلیدیة سواء المعلمیة  واللامعلمیة والتی تفقد کفاءتها فی حالة جود قیم شاذة فی بیاناتها، وفی بعض الحالات یتحتم عدم حذف قیم المشاهدات الشاذة بل توظیف طرائق بدیلة للتقدیر تکون غیر حساسة Insensitive أو حصینة تجاه وجود هذه القیم فی العینة، أی أنها تستطیع التعامل معها آخذة بنظر الاعتبار طبیعة البیانات والعلاقة بین متغیراتها، وهذه الطرائق تسمى بالطرائق الحصینة (Robust Methods) أما المقدرات الناتجة عنها فتسمى بالمقدرات الحصینة (Robust Estimators). إذ أن الطرائق الحصینة تعطی أوزان أقل للمشاهدات الشاذة وذلک للتقلیل من تأثیرها على عملیة التقدیر، ویتم غالباً استخدام الأسلوب التکراری Iteration فی الحساب للتقلیل من تأثیر وجود الارتباط الذاتی والتعددیة الخطیة فی البیانات. ومن أهم هذه الطرائق التی تم استخدامها فی هذه الدراسة هو أسلوب MM الحصین (Huber , 1964). ومن أجل تحقیق الغرض من البحث تم استخدام برنامج R فی کتابة أکواد التحلیل، وقد تم اختبار تحقیق البیانات للافتراضات الخاصة بتحلیل المکونات الرئیسیة أولاً بالبیانات الأصلیة ومن ثم تم حساب المکونات الرئیسیة وأُجریت بعدها المقارنة بین نتائج النموذج الأصلی والنماذج الأخرى فضلاً عن الأسلوب المقترح.

2- هدف البحث

یهدف هذا البحث إلى تحصین مقدرات نموذج الانحدار ضد وجود القیم الشاذة فی البیانات سواءً فی المتغیر المعتمد أو فی المتغیرات المستقلة، فضلاً عن التعامل مع وجود مشکلة تعدد العلاقة الخطیة بین المتغیرات التوضیحیة.

3- الجانب النظری

3-1)) مشکلة تعدد العلاقة الخطیة Multi-Collinearity Problem       

تظهر مُشکلة تعدُد العلاقة الخطیة عندما یرتبط اثنان أو أکثر من المتغیرات التوضیحیة (المستقلة) بعلاقة خطیة قویة جداﹰ  بحیث یُصبح من الصعب فصل أثر کُل مُتغیر عن المُتغیر المُعتمد، وان مُصطلح تعدُد العلاقة الخطیة هو مُصطلح مُرکب من کلمة multi (مُتعدد) وco (مُشترک) وlinearity (خطی)، وتختلف درجة التعدُد الخطی تبعاً لقوة الارتباط بین المُتغیرات التوضیحیة، فإذا کان مُحدد مصفوفة المعلومات مُساویاً للصفر  فإننا نحصل على تعدد خطی تام (Perfect Multi-collinearity) وبهذا لا نستطیع تقدیر معلمات الانحدار باستخدام طریقة المُربعات الصُغرى الاعتیادیة، حیث أن تبایُن مُقدرات معلمات الانحدار ستکون قیمها غیر مُعرفة (لأن قیمة المحدد فی المقام مساویة للصفر)، أی أن (الخطیب ،2010):

                                                   Undefined                                               … (1)

   أما إذا کان المحدد قریباً من الصفر فإننا نحصل على تعدُد خطی غیر تام (ضعیف) (Weak Multicollinearity) ، وعند استخدام طریقة المُربعات الصُغرى الاعتیادیة لغرض تقدیر معلمات الانحدار فإننا نحصل على مُقدرات غیر دقیقة ما یؤدی إلى الحصول على تبایُن عالٍ (لأن المقام  سیکون صغیراﹰ)، وکما یلی:

                                 Large value                                                                       … (2)

وقد اهتم الباحثون بالتخلُص من مُشکلة تعدُد العلاقة الخطیة أو التقلیل من أثرها، وذلک باستخدام أسالیب متعددة وطرائق مختلفة لمعالجة المُشکلة، ومن هذه الطرائق ما یأتی:

1- إضافة بیانات جدیدة إلى البیانات الأصلیة ، حیث أن زیادة عدد المُشاهدات یؤدی إلى التقلیل من قیمة الأخطاء المعیاریة، ویعود السبب فی ذلک إلى الزیادة الحاصلة فی قیمة مُحدد مصفوفة المعلومات.

2- استبعاد أحد المتغیرات ذی الارتباط المرتفع مع أحد المتغیرات التوضیحیة الأخرى، مع مراعاة أن أی استبعاد للمتغیرات المهمة یؤدی إلى حصول مشکلة فی توصیف النموذج.

3- استخدام المعلومات المُسبقة، إذ یتُم وضع معلومات مُسبقة حول معلمات الانحدار لغرض تقدیرها، حیث تأخذ المعلومات المُسبقة صیغاً ثابتة وعشوائیة ومُختلطة.

4- استخدام تحویلات على المُتغیرات التی لها ارتباط عالٍ وهناک نوعان من التحویلات القیاسیة وهما الأکثر شیوعاً: التحویل إلى المتغیر الطبیعی(Normal variable form) والتحویل الثابت بطول واحد(Unit length scaling) .

5- استخدام طرائق تقدیر مُتحیزة، منها انحدار الحرف (Ridge Regression)، وانحدار المرکبات الرئیسیة (Principal Components Regression)، وانحدار الجذور الصماء (Latent Root Regression)، والمُقدر المُتقلص (Shrunken Estimator) أو إحدى الطرق غیر المتحیزة مثل طریقة المُربعات الصُغرى المُقیدة (Restricted Least Square).

وهناک عدة معاییر للکشف عـن وجـود التـداخل الخطی منها ما هو عام فی اختبار وجود المشکلة ومنها ما هو خاص یتناول کل متغیر على حدى، ومن أهمها:

أ‌-      المؤشرات العامة (للمتغیرات بالعموم) لوجود مشکلة تعدد العلاقة الخطیة

أولاً: المحدد    Determinant

یکون محدد المصفوفة  مفرداً Singular اذا احتوى على أعمدة وصفوف مرتبطة خطیاً. لذلک، فإن محدد مصفوفة الارتباط (R= ) کون المتغیرات محولة إلى الصیغة القیاسیة یشیر إلى وجود مشکلة تعدد العلاقة الخطیة. ومع ذلک، فإن المحدد لا یوفر معلومات حول الترابط بین معلمات الانحدار. والمحدد   قیمته محصورة بین الصفر والواحد (1≥ 0≤ ) (Cooley & Lohnes, 1971). فإذا کانت قیمته تقترب من الصفر   فهذا یعنی وجود تداخل خطی بین المتغیرات (Asteriou & Hall, 2007)..

ثانیاً: معامل التحدید          Coefficient of Determination

یعرف معامل التحدید  بأنه نسبة تأثیر المتغیرات المستقلة  فی التغیرات الحاصلة فی المتغیر التابع Y (Gujarati & Porter, 2008; Stock &Watson, 2010).، ومن ناحیة اخرى کلما کانت قیمة معامل التحدید عالیة زادت فرصة وجود تعدد علاقة خطیة بین المتغیرات وصیغته الریاضیة کالآتی: (Asteriou & Hall, 2007; Gujarati & Porter, 2008; Maddala, 1988)

                                                                                                          … (3)

ثالثاً:  Farrar :

إنه اختبار Chi-Square لاکتشاف قوة العلاقة الخطیة بین مجموعة من المتغیرات المستقلة فی نموذج الانحدار، ویتم حسابه وفقاً للصیغة الآتیة:

₌                                  … (4)

فإذا کان  فهذا یعنی وجود مشکلة تعدد العلاقة الخطیة (Farrar& Glauber,1967).

رابعاً: الدلیل الشرطی  Condition Index

یستخدم هذا المؤشر للکشف عن وجود التعدد الخطی ومن خلال القیم الممیزة یتم حساب هذا المؤشر وفقاً للصیغة الآتیة (المولى،2016):

               , j = 1,2,…,p                                           … (5)

حیث ان:  : القیمة الممیزة ذات التسلسل (j).

 ویستفاد من الدلیل الشرطی فی قیاس درجة تعدد العلاقة الخطیة بالاعتماد على قیمة الجذر الممیز j ، حیث اقترح کل من Belsley,Kuh & Welsch فی عام 1980 أنه اذا کانت قیمة الدلیل الشرطی  بحدود العشرة تکون العلاقة ضعیفة ، أما عندما (30≤ ≤100) تکون العلاقة متوسطة أما إذا کانت ( ) فهذا یعنی إن العلاقة قویة.

خامساً: مجموع مقلوب الجذور الممیزة     Sum of reciprocal of eigenvalues

                                                                      … (6)

اذا کان هذا المجموع أکبر من خمسة مرات عدد المتغیرات التفسیریة فهذا یعنی وجود تداخل خطی بین المتغیرات التفسیریة ایضاً.(سالم،2018)

سادساً:Theil’s indicator   

اقترح  (Theil, 1971)مقیاساً للعلاقة الخطیة بین المغیرات المستقلة بناءً على المساهمة التزایدیة ( ) لمربع الارتباط المتعدد ، حیث أن  هو عبارة عن معامل التحدید لانحدار المتغیر  على بقیة المتغیرات المستقلة فی النموذج.

 –                                                                … (7)

فاذا کانت m=0 فعندها تکون کل المتغیرات التوضیحیة غیر مرتبطة لأن المساهمة المتزایدة تضاف جمیعها إلى  ، ومع ذلک إذا کانت m  فهذا یعنی وجود مشکلة تعدد علاقة خطیة بین المتغیرات.

سابعاًRed indicator  :

قدم Kovács et al., 2005)) مؤشراً موحداً لتشخیص تعدد العلاقة الخطیة باستخدام الجذور الممیزة أو تحدید معدل الارتباط فی البیانات، وصیغته الریاضیة کالآتی:

Red =                                                                      … (8)

  اذا کانت قیمة المؤشر صفر (Red=0) یشیر إلى عدم وجود تعدد علاقة خطیة واذا کانت قیمته تقترب من الواحد (Red ) یشیر الى وجود تعدد علاقة خطیة بین المتغیرات.

ب- المؤشرات الفردیة (لکل متغیر على حدى) لوجود مشکلة تعدد العلاقة الخطیة

اولاً: معامـل تضـخم التباین Inflation Variance Factor (VIF)

تم اقتراح هذا المقیاس عام 1967 من قبل Farrar&Glauber وقد أطلق علیه Marquardt عام 1970 بمعامل تضخم التباین Variance Inflation Factors ویرمز له بالرمز (VIF) ومعاملات تضخم التباین یمکن التعبیر عنها بصیغة ریاضیة تأخذ الشکل الآتی(النعیمی،2005):

,    j=1, 2,…, m                                                                          ...(9)

حیث أن: m : تمثل عدد المتغیرات التوضیحیة ، R_j²: تمثل معامل التحدید لانحدار المتغیر X_j على بقیة المتغیرات التوضیحیة وإن  ، فاذا کان هناک ارتباط بین X_j مع بقیة المتغیرات فهذا یؤدی الى ان قیمة  سوف تقترب من الواحد  مما یؤدی أن قیمة (VIF) تکون کبیرة جداً وهذا یؤشر على وجود مشکلة تعدد العلاقة الخطیة بین المتغیرات التوضیحیة ، أما إذا کان المتغیر X_j مستقل تماماﹰ عن بقیة المتغیرات التنبؤیة الاخرى فان (R²=0) وبذلک تکون قیمة (VIF=1) ویعنی هذا عدم وجود مشکلة تعدد العلاقة الخطیة بین المتغیرات التنبؤیة. أوضح Montgomery أنه إذا کانت قیمة  فانه یعد سبباً کافیاً لإهمال المتغیر X_j من التحلیل.

ثانیاً : TOL

یستخدم هذا المؤشر للکشف عن وجود مشکلة تعدد العلاقة الخطیة وصیغته الریاضیة هی:

                                                                                … (10)

 فاذا کانت قیمة  فهذا یعنی وجود تعدد علاقة خطیة بین المتغیرات وکما وضح کل من et al., 2004; Marquardt, 1970). (Kutner.

ثالثاً: الجذور الممیزة   Eigenvalues    

اقترح کل من الباحثین Kendall (1957)  و Silvey (1969) استخدام قیم الجذور الممیزة لمصفوفة الارتباط  للتحقق من وجود تعدد علاقة خطیة و حیث تشیر قیم الجذور الممیزة الصغیرة والقریبة من الصفر الى وجود علاقة قویة(Kendall, 1957; Silvey, 1969).

رابعاً: CVIF

هو مقیاس تم اقتراحه من قبل کل من الباحثین Curto and Pinto (2011) للکشف عن وجود مشکلة تعدد العلاقة الخطیة ولتقییم تأثیر الارتباط بین معلمات الانحدار فی تباین  ویتم حساب هذا المقیاس وفقاً للصیغة الآتیة:

                                                                 … (11)

حیث أن:

فإذا کانت قیمة  فهذا یعنی وجود مشکلة تعدد العلاقة الخطیة بین المتغیرات المستقلة (Curto&Pinto, 2011).

خامساً: Leamer’s method

               اقترح Leamer  (Greene,2002)  مقیاساً لتأثیر تعدد العلاقة الخطیة للمتغیر ذو التسلسل j على بقیة المتغیرات وصیغته الریاضیة هی :

                                                                              … (12)

علماً أن هذا المقیاس هو بمثابة الجذر التربیعی لنسبة التباینات من المعلمات المقدرة ( ) عند تقدیرها بدون ومع معلمات الانحدار الأخرى، فإذا کان المتغیر  غیر مرتبط بالانحدارات الأخرى فإن    سیکون 1 وإلا فسیکون مساویًا لـ  ، واذا کانت   فهذا یعنی وجود مشکلة تعدد العلاقة الخطیة.

سادساً: F and relation

یمکن استخدام العلاقة بین اختبارF و  من انحدار  على الانحدارات المتبقیة الاخرى لاکتشاف تعدد العلاقة الخطیة، وتوصف العلاقة بأنها:

                                          … (13)

حیث =  

فإذا کان  فهذا یعنی أن  تربطه علاقة خطیة مع المتغیرات الاخرى ویجب إسقاطها من النموذج ((Gujarati and Porter,2008.

سابعاً: Farrar

هو اختبار F لتحدید الانحدارت التی تربطها علاقة خطیة ببقیة المتغیرات ویتم حساب احصاءة الاختبار من معاملات الارتباط المتعددة بین المتغیرات المستقلة وصیغته الریاضیة هی:

                                                         … (14)

فإذا کانت   فهذا مؤشر على وجود مشکلة تعدد علاقة خطیة کبیرة (Farrar & Glauber, 1967)..

(3-2) الطرائق الحصینةRobust Methods         

إن العدید من الباحثین توصلوا إلى أن الطرائق التقلیدیة للتعامل مع المشاکل تکون غیر کفوءة فی حالة عدم تحقق أحد الافتراضات أو الشروط التی تعتمد علیها. لذلک سعى الباحثون لإیجاد طرائق أکثر کفاءة ولا تتأثر کثیراً بالانحرافات عن الافتراضات المحددة، فکانت الطرائق الحصینة (Robust Methods) هی البدیل الجید وهی أقل تأثراً فی حالة اختراق البیانات لشرط من شروط التحلیل المستخدم، وتمتاز بأنها مناسبة لفئة واسعة من التوزیعات فی تقدیر معلمات النموذج الخطی. أما المقدرات الناتجة عن هذه الطریقة فتسمى بالمقدرات الحصینة وتکون غیر حساسة تجاه الشواذ، وبالرغم من وجود طرق حصینة مختلفة إلا أن أغلبها تشترک بنقطتین رئیسیتین، الأولى هی بإعطاء وزن أقل للمشاهدة الشاذة (إن وجدت) وذلک للتقلیل من تأثیرها، والنقطة الثانیة استخدام أسلوب التکرار (Iteration) الذی یؤدی إلى تقلیل تأثیر الارتباط الذاتی والتعدد الخطی (Rousseeuw , 2005)، ومن أهم الطرائق الحصینة المستخدمة لإیجاد مقدرات الأنموذج هی:-

(1-3-2) مقدر  MMالحصین      MM-estimators

من المعلوم أن مقدرات M تصلح للتعامل مع مشکلة تقدیر المعلمات للمتغیر المعتمد والمتغیرات المستقلة لکن هذه المقدرات تکون غیر حصینة (Non-Robust) ضد الحالات التی یکون فیها البعد X x-direction یحتوی على قیم شاذة (أی عندما توجد فی مصفوفة التنبؤ قیم مخلة أو جاذبة Leverage Points). فیعتبر مقدر MM الذی تم اقتراحه من قبل Yohai, 1987)) ذو نقطة انهیار (Breakdown) عالیة حتى عن وجود نقاط جذب (Leverage Points) فی البیانات ویعطی مقدرات ذات کفاءة جیدة، علماً أن ثابت التولیف (Tunning Constatnt) یتم اختیاره لتحقیق نقطة الانهیار والکفاءة المطلوبتین (Heritier et. al., 2009) و(Riazoshams, 2019). وقد سمی هذا المقدر بمقدرMM إشارة إلى حقیقة أن أکثر من مقدرM واحد یستخدم للحصول على المقدر النهائی حیث یتم التقدیر باستخدام طریقة المربعات الصغرى المعاد وزنها  (IRLS) (Andersen, 2008). ویقوم مقدرMM على تقدیر معلمات الانحدار باستخدام تقدیر S (S-estimation) الذی یقوم بتصغیر تباین الأخطاء (البواقی) من مقدرات M (M-estimation) ومن ثم إعادة تطبیق مقدرM مرة ثانیة. حیث یتم تقدیر المعلمات لمقدرMM کحل لدالة التصغیر التالیة(Almetwally and Almongy, 2008)  و (Susanti et. al., 2014):

                                                                                      … (15)

 or

                                                                          … (16)

حیث أن sMM یمثل الانحراف المعیاری الذی یتم الحصول علیه من تقدیر S وأن  هی دالة Tukey’s biweight:

                                                   … (17)

حیث أن    

                                                                                    … (18)

  ویقوم استخدام هذا المقدر من خلال الموازنة بین الکفاءة عند التوزیع الطبیعی وبین التحیز عندما تکون البیانات ملوثة بالقیم الشاذة، حیث أنه کلما زادت الکفاءة کلما زاد التحیز (Maronna et. al., 2019).

(2-3-2)بعض مقاییس التشتت الحصینة Some Robust Measures of Scale      

 ولأجل المقارنة بین أداء کل طریقة من الطرق المستخدمة فی حالات عدم وجود شواذ وحالتی وجود قیم شاذة فی المتغیرین المعتمد والمتغیرات المستقلة تم استخدام العدید من معاییر المقارنة الشائعة ومنها الخطأ القیاسی لقیم البواقی Residual standard error، معامل التحدید R-Square، متوسط مربعات الخطأ MSE، جذر متوسط مربعات الخطأ RMSE، وسیط نسبة الأخطاء المطلقة Median Absolute Percentage Error MDAPE، ووسیط الأخطاء المطلقة MDAE وهی من المعاییر المعروفة فی مقارنة الکفاءة ودقة التقدیر بین النماذج المختلفة(Memmedli and Ozdemir , 2009) , (Boiroju and Reddy, 2012), (Willmott and Matsuura, 2005), (Sarwar and Sharma, 2014), (Woschnagg and Cipan, 2004), (Makridakis and Hibon, 1995)                  

سنتناول فی هذه الفقرة بعض مقاییس التشتت الحصینة التی سیتم استخدامها فی التحالیل الإحصائیة وهی کما یلی:

1-الخطأ القیاسی لقیم البواقی    Residual standard error

هو الجذر التربیعی لحاصل قسمة مجموع مربعات البواقی على درجات الحریة (جذر متوسط مربعات الخطأ)، وکلما صغرت قیمة هذا المعیار دل ذلک على کفاءة النموذج المقدر. أی أنه مقیاس یستخدم لتقییم مدى ملائمة نموذج الانحدار الخطی للبیانات، وصیغته الریاضیة هی:

RSE =                                                                                     … (19)

2- متوسط مربعات الخطأ    Mean Square Error (MSE)      

متوسط مربعات الخطأ العشوائی هو مقیاس للدقة یتـم حسابه بتربیع الخطأ لکل مشاهدة فی مجموعة البیانات، ومن ثـم إیجاد المعدل أو متوسط القیـم لمجموع هذه المربعات، حیث أن الأخطاء یتم تربیعها قبل أخذ مجموعها ویمکن توضیح هذا المعیار کما یأتی:- (سالم،کورکیس شهید وعبد الامیر،2016)

MSE =                                                                                                            … (20)

وباستخدام المصفوفات:

MSE =                                                                                                            … (21)

   : یمثل حاصل ضرب مصفوفة قیـم المتغیر التابع ومدورها.

   : یمثل مصفوفة معلمات الانحدار المقدرة.

   : یمثل حاصل ضرب مدور مصفوفة قیـم المتغیرات المستقلة ومصفوفة قیـم المتغیر التابع.

 :n  حجـم العینة ، p: عدد متغیرات الاستجابة.

3-جذر متوسط مربعات الخطأRoot Mean Square Error (RMSE or RSE)                

هو مقیاس یعبر عن الجذر التربیعی لمقیاس آخر وهو متوسط مربعات الخطأ (Mean Square Error (MSE))، وتکون صیغته الریاضیة کما یلی:

RMSE                                                          … (22)

ولغرض المقارنة بین النماذج، من العادة استخدام مقیاس جذر متوسط مربعات الخطأ(RMSE) بدلاً من متوسط مربعات الخطأ(MSE)، وذلک لأن جذر متوسط مربعات الخطأ قد تم قیاسه بالوحدات الأصلیة للقیم نفسها. ویعد هذا المقیاس أکثر حساسیة من المقاییس الأخرى لقیم البواقی الکبیرة، حیث إن عملیة تربیع القیم تعطی أوزاناً غیر متکافئة(غیر متجانسة) لقیم البواقی الکبیرة. أما إذا کانت قیمة البواقی الکبیرة لا تشکل مشکلة فی اتخاذ قرارک (مثلاً عندما تکون الکلفة الحقیقیة للخطأ تتناسب تقریباً مع حجم الخطأ، ولیس مع مربع قیمته) فعندها قد یکون من المناسب استخدام MAE أو MAPE کمعاییر للمقارنة. إن جذر متوسط مربعات الخطأ(RMSE) ومتوسط الأخطاء المطلقة (MAE) یستخدمان فقط للمقارنة بین النماذج التی تقاس قیم البواقی فیها بنفس وحدات القیاس. ومن المعلوم أن متوسط مربعات الخطأ(MSE) ومتوسط الأخطاء المطلقة(MAE) ربما یعالجان مشکلة وجود بواقی موجبة وسالبة کما هو معروف، وهما یعدان بدیلین لمحدودیة استخدام متوسط الأخطاء (Mean Error ME)، ولکنهما یفشلان فی تزویدنا بمعلومات عن الدقة التنبؤیة المتعلقة بوحدات القیم التی تحسب لها(العبیدی،2015).

4- وسیط الأخطاء المطلقة (MDAE)                   Median Absolute Error

هو متوسط الفرق المطلق بین متجهین رقمیین، وصیغته الریاضیة هی:(Alexel,2019)

MDAE = median                                                                           … (23)

حیث أن:    : القیم الفعلیة  :  القیم المتوقعة

5- وسیط نسبة الأخطاء المطلقة Median Absolute Percentage Error (MDAPE)

هو وسیط النسبة المئویة لحاصل قسمة قیم البواقی الى قیم المشاهدات الحقیقیة للمتغیر المعتمد بعد ترتیب القیم المطلقة للأخطاء، وصیغته الریاضیة هی: (Alexel,2019)

MDAPE =                                                 … (24)

4- الجانب التجریبی

إن تحلیل المکونات أو المرکبات الرئیسیة هو الأساس فی أسلوب انحدار المکونات الرئیسیة حیث أنه فی تحلیل المکونات الرئیسیة الاعتیادی یتم إیجاد المکونات أو المرکبات ثم إیجاد قیم التحمیلات والجذور الممیزة أما انحدار المکونات الرئیسیة فتکون فیه المتغیرات المستقلة على شکل مکونات رئیسیة نقوم بدراسة تأثیرها على المتغیر المعتمد، وعلیه نحتاج إلى انحدار المکونات الرئیسیة عندما یکون لدینا مشکلة تعدد العلاقة الخطیة بین المتغیرات المستقلة، وهنالک بعض الحالات یکون فیها المتغیر المعتمد أو المتغیرات المستقلة ملوثة بقیم شاذة فتسبب خفض فی کفاءة النموذج المقدر وعندها تتداخل أهمیة دمج انحدار المکونات الرئیسیة مع الاسالیب الحصینة للحصول على مقدرات کفوءة، وقد تم فی هذا البحث استخدام أوزان حصینة على نموذج مقدر بطریقة المربعات الصغرى متغیراتها المستقلة عبارة عن المکونات الرئیسیة للنموذج الأصلی. ولمقارنة کفاءة الطرق تمت تجربة نماذج بثلاثة وخمسة وتسعة متغیرات على التوالی وبأحجام عینات 50 و 100 و 200 مشاهدة على التوالی فی حالة عدم وجود شواذ فی البیانات وأیضاً فی حالات وجود 5% أو %6 و%10 و %20 و %30 و %40 شواذ فی البیانات فی المتغیر المعتمد Y وتم تطبیق النموذج المقترح لانحدار المربعات الصغرى الاعتیادیة للمرکبات الرئیسیة والموزونة بمقدرMM الحصین بدوال أوزان ومنها Huber و Hampel و Bisquare على بیانات تحتوی على قیم جاذبة کی نتمکن من تمییز الطریقة الأکثر کفاءة مقارنة ببقیة الطرق وذلک فی حالات وجود 5% أو %6 و%10 و %20 و %30 و %40 شواذ فی البیانات وفی المتغیرات المستقلة وکما هو مبین فی لاحقاً وتم تکرار کل التجارب                   ( Replicates = 2970 ) مرة لغرض الحصول على نتائج متسقة، ولإعطاء صورة شاملة عن کفاءة الطرق. ولأجل المقارنة بین أداء کل طریقة من الطرق المستخدمة فی حالات عدم وجود شواذ وحالتی وجود قیم شاذة فی المتغیرین المعتمد والمتغیرات المستقلة تم استخدام العدید من معاییر المقارنة الشائعة ومنها الخطأ القیاسی لقیم البواقی Residual standard error، معامل التحدید R-Square، متوسط مربعات الخطأ MSE، جذر متوسط مربعات الخطأ RMSE، وسیط نسبة الأخطاء النسبیة Median Absolute Percentage Error MDAPE، ووسیط الأخطاء المطلقة MADE وهی من المعاییر المعروفة فی مقارنة الکفاءة ودقة التقدیر بین النماذج المختلفة (Memmedli and Ozdemir , 2009) , (Boiroju and Reddy, 2012), (Willmott and Matsuura, 2005), (Sarwar and Sharma, 2014), (Woschnagg and Cipan, 2004), (Makridakis and Hibon, 1995)

جدول (1): مقارنة کفاءة الطرق لنتائج المحاکاة لثلاثة متغیرات ولعینة بحجم 50 مشاهدة

جدول (2) مقارنة کفاءة الطرق لنتائج المحاکاة لخمسة متغی ارت ولعینة بحجم 100مشاهدة

جدول (3): مقارنة کفاءة الطرق لنتائج المحاکاة لتسعة متغیرات ولعینة بحجم 200

جدول (4): تفسیر النتائج لکل تجارب المحاکاة التی بلغت 2970 محاولة