Identification of Transformation Function Models for OPEC Crude Oil Prices.

1- After examining each of the two series of inputs and outputs, it was found that they are unstable by the arithmetic mean and variance, and stability was achieved after taking the square root transformation and taking the first difference of the two series.
2- The two time series have been bleached with the ARIMA (1,1,0) model because it is the appropriate model for these series.
3- Through the cross-correlation function between the two whitened series of inputs and outputs, the rank of the transfer function model was determined, which is (s, r, d) = (2, 2, 0). After estimating the values ​​of the white noise series, it was diagnosed with the ARIMA (2,0,3) model because it is the appropriate model for this series.
4- After diagnosing the transformation function model for the data, the future values ​​were predicted for nine months, and the value of ME = -0.00851 was negative, meaning that most of the errors are negative, which is evidence that the approved prediction gives optimistic results.

مقدمة   Introduction

یعد النفط سلعة استراتیجیة عالمیة ومادة أولیة فی الصناعات الکیمیاویة والنفطیة ومصدراً هاماً للاستثمار فهو أحد أهم أرکان اقتصاد الدول کونه مورداً مالیاً استراتیجیاً وعنصراً أساسیاً فی العلاقات السیاسیة والاقتصادیة. لذا کان لتذبذب اسعاره اثاراً اقتصادیة وخیمة إذ یشکل انخفاضها خطراً حقیقیاً على النمو الاقتصادی فی الکثیر من الدول نتیجة لتأثیر قیمة العائدات النفطیة وانعکاس ذلک مباشر على الایرادات المالیة والموازنة العامة فضلاً عن أن الاعتماد علیه کمصدر وحید للدخل ینطوی على مخاطر اقتصادیة مما استدعى الحاجة إلى الحفاظ على ثبات اسعاره فی الاسواق العالمیة ضماناً لمصلحة المستهلکین والمنتجین والمستثمرین. لقد نشأت ضمن دول منتجة للنفط عام 1960 منظمة حکومیة دولیة سمیت منظمة الدول المصدرة للنفط (اوبک) حیث انضمت الیها دول أخرى لاحقاً لیبلغ عددها حالیاً خمس عشرة دولة وکان الهدف من انشائها تنسیق وتوحید السیاسات لدولها الأعضاء وضمان استقرار اسواق النفط وذلک من اجل ضمان توفیر امدادات اقتصادیة ونفط کافی للمستهلکین ودخل ثابت للمنتجین وعائد عادل على رأس المال بالنسبة للمستثمرین فی صناعة النفط. یلجأ العدید من المستثمرین الى استخدام اسالیب التحلیل الاساسی والفنی اضافة الى استخدام الاسالیب الاحصائیة والریاضیة بهدف التوصل الى توقعات مستقبلیة مرتبطة بحیث یعتبر التنبؤ جزء مکمل لعملیة اتخاذ القرارات من قبل الادارات على مختلف مستویاتها إذا یشیر التنبؤ الى تلک الدراسات المتعلقة بالمستقبل سواء احتوت هذه الدراسة على تنبؤات تعتمد على الاسلوب الشخصی إذ انتهجت المنهج التخطیطی باتباع اسالیب علمیة منظمة أذ استوحت هذه الدراسات اسالیب ریاضیة واحصائیة لقیاس العلاقات. یهدف هذا البحث بشکل رئیسی لتحدید النموذج الأمثل لنماذج دالة التحویل للسلسلة الزمنیة الشهریة لمعدلات أسعار برمیل النفط الخام لمنظمة الدول المصدرة للنفط )أوبک(  بالدولار الامریکی باعتبارها سلسلة مخرجات وسعر نفط برنت باعتباره سلسلة مدخلات والتنبؤ بالأسعار المستقبلیة لبرمیل النفط الخام لمنظمة أوبک وذلک بما یسهم فی وضع الخطط الملائمة لتجنب أی أزمات اقتصادیة محتملة جراء تذبذب أسعار النفط.

1-     السلاسل الزمنیة المستقرة:

     وتعرف السلسلة الزمنیة بأنها عبارة عن مجموعة من المشاهدات لظاهرة معینة خلال فترة زمنیة وتعرف السلسلة الزمنیة ریاضیاً بأنها متتابعة من المتغیرات العشوائیة معرفة ضمن فضاء الاحتمالیة متعددة المتغیرات ومؤشرة بالدلیلt  والذی یعود الى المجموعة الدلیلیة  Tویرمز للسلسلة الزمنیة عادة {t ،(t)y} أو اختصاراً y(t) وتتکون من متغیرین احدهما توضیحی وهو متغیر الزمن والآخر متغیر الاستجابة وهو قیمة الظاهرة المدروسة ویمکن التعبیر عنها ریاضیاً y=f(t). أما إذا کان هناک عوامل أخرى  إلى جانب الزمن تؤثر على الظاهرة y فیعبر عنها ریاضیاً (y=f(t,  . [ Mohamad,2011] ] [Vandel,1992.

   یقال إن السلسلة الزمنیة مستقرة إذا لم یکن هناک نمو أو انحراف فی البیانات (عدم ظهور اتجاه عام) أی تبعثر البیانات أفقیاً حول متوسط ثابت، بعبارة أخرى تکون السلسلة الزمنیة مستقرة اذا کان تذبذب البیانات حول وسط  حسابی  ثابت مستقل عن الزمن وکذلک التباین ثابتاً عبر الزمن. فإذا کان التباین غیر ثابت فیجب تحویل البیانات وتوجد العدید من طرق تحویل البیانات بهدف تثبیت التباین وتعتبر التحویلة اللوغاریتمیة وتحویلة الجذر التربیعی من أکثر التحویلات استخداماً. اما اذا کان المتوسط غیر ثابت فیتم ازالة الاتجاه العام باستخدام الفروق differencing وتتکون طریقة الفروق من طرح قیم مشاهدات السلسلة من بعضها البعض فی ترتیب زمنی محدد. اما اذ کانت السلسلة الزمنیة تحتوی على تغیرات موسمیة فیتم تجرید السلسلة الزمنیة من الاثر الموسمی باستخدام طریقة الفرق الموسمی Seasonal differencing وذلک بأخذ الفروق الموسمیة الربع سنویة او شهریة، وقد تکون من الرتبة الأولى أو الثانیة إلى أن یتحقق الاستقرار، وغالباً ما یصل الاستقراریة فی الفرق الثانی. ]شعراوی، 2005[

2-      دالة الارتباط الذاتی  Autocorrelation Function(ACF)

     تعد دالة الارتباط الذاتی من الاحصائیات الاساسیة فی تحلیل السلاسل الزمنیة. وتعرف بأنه المتغیر العشوائی الذی یحدث خلال فترة معینة یرتبط بالمتغیر العشوائی الذی یسبقه او یلیه أی ارتباط السلسلة نفسها مع نفسها أو تزحیفها بمقدار[k=1,2,3,….]  فترة. وأن دالة الارتباط الذاتی وسیلة لتحدید رتبة نموذج المتوسطات المتحرکة، وان الصیغة العامة لحساب الارتباط الذاتی لسلسلة المستقرة کالآتی: [Box et al., 2016]

حیث أن::   یمثل معامل الارتباط الذاتی لقیم y بإزاحة مقدارها k . : التباین المشترک الذاتی بإزاحة مقدارها k.  : التباین لقیم y.

3-     دالة الارتباط الذاتی الجزئیPartial Autocorrelation Function(PACF)

    تستخدم دالة الارتباط الذاتی الجزئی لقیاس درجة العلاقة بین المشاهدتین   و  بثبوت بقیة المشاهدات الاخرى أی أنها تقیس درجة الارتباط الخطی بین المتغیرین  و  بعد حذف تأثیر المتغیر  . کما أن لدالة الارتباط الذاتی الجزئی اهمیة لا تقل عن اهمیة دالة الارتباط الذاتی حیث أنها تعتبر اداة مهمة فی تحلیل السلاسل الزمنیة وتستخدم ایضاً فی تشخیص النموذج وکذلک فحص ملائمة النموذج من خلال اختبار عشوائیة اخطاء التنبؤ. ویمکن ایجاد معاملات دالة الارتباط الجزئی من خلال المعادلة التالیة: [Brockwell & Davis, 2002]

حیث أن:   : تمثل القیمة المقدرة لمعامل الارتباط الذاتی الجزئی لقیم y بإزاحة مقدارهاk .

4-     دالة الارتباط التقاطعی                    Cross-correlation Function(CCF)

    تعتبر دالة الارتباط التقاطعی المفتاح الرئیسی فی نماذج دالة التحویل حیث تشیر الى الارتباط بین متغیر الأستجابة الذی یمثل المخرجات ( ) والمتغیر المستقل الذی یمثل المدخلات ( ) وتعبر هذه الدالة عن الارتباط بین سلسلتی عند فترات زمنیة مختلفة ویمکن ایجاد قیم معاملات الارتباط التقاطعی من خلال المعادلة الاتیة: ]شعراوی، 2005[

حیث أن:   :  تمثل الوسط الحسابی لسلسلة المخرجات. : تمثل الوسط الحسابی لسلسلة المدخلات.

5-     نموذج الانحدار الذاتی والمتوسطات المتحرکة Autoregressive-Moving Average

     قُدم هذا النموذج من قبل Box & Jenkins فی عام (1970)، وهو نموذج یجمع بین نموذجی الانحدار الذاتی والمتوسطات المتحرکة، أی انه یجمع ما بین المشاهدات السابقة والاخطاء السابقة، ویرمز له بالرمز ARMA(p,q) حیث تمثل (p) عدد معلمات الانحدار الذاتی، وتمثل (q) عدد معلمات المتوسطات المتحرکة، وتأخذ الصیغة المعبرة عن نموذج ARMA(p,q) الشکل التالی: [Box et al., 2016]

 حیث أن:

 تشیر إلى السلسلة الزمنیة بشکل عام ای قیمة الظاهرة فی الفترات الزمنیة t=1,2,….,n.

 تشیر الى معالم عوامل المتوسطات المتحرکة MA والانحدار الذاتی AR على التوالی.

: تشیر الى الاخطاء فی الفترات الزمنیة t=1,2,….,n.

6-     معاییر اختیار أفضل نموذج             Criteria Choose Best Model

     إن عملیة اختیار النموذج المناسب والملائم لیست سهلة فهی تتطلب بعض الجهد وعلیه یجب على الباحث مواجهتها من خلال الإلمام العلمی الکامل بمعاییر عدة یمکن استخدامها وصولاً إلى النموذج الملائم  [Matroushi, 2011]. ومن المعاییر التی تم استخدامها فی بحثنا لتولید افضل نموذج هی:

أ) معیار معلومات أکاکی                  (AIC) Akaike Information on Criteria

    عرف هذا المعیار من قبل العالم Akaike عام (1973-1974) حیث قدم من خلاله معلومات لاختیار الرتبة الملائمة للنموذج بین عدة نماذج بحیث تقابل الرتبة المناسبة أقل قیمة لمعیار AIC وتمثل الرتبة الأکثر ملائمة، ویعبر عن المعیار (AIC) بدلالة مقدار تباین الخطأ للسهولة فی الاستخدام کما یلی: ]البدرانی،  [2002   

حیث أن: h: عدد معلمات النموذج. n: عدد المشاهدات        .   : مقدار تباین الخطأ .

ب) معیار معلومات بیز                       (BIC) Bayesian Information Criteria

     اقترح هذا المعیار من قبل Schwarz عام 1978 لاختبار نموذج واحد من عدة نماذج الذی یقابل اقل قیمة لمعیار بیز. ویعبر عن معیار (BIC) بدلالة مقدار تباین الخطأ لسهولة الاستخدام کما یلی.  Hussean &jwad,2018]

ج) معیار متوسط مربعات الخطأ:            Mean Square Error Criterion(MSE)

     یستخدم معیار متوسط مربعات الاخطاء على نطاق واسع ویأخذ هذا المعیار بعین الاعتبار القیم السالبة والموجبة لخطأ التنبؤ من خلال الاعتماد على حساب مربعات الاخطاء لکن ما یؤخذ علیه هو تضخیم القیم الکبیرة للخطأ واعطائها أهمیة کبیرة، ویتم حساب هذا المعیار وفق الصیغة الریاضیة التالیة ،:[Najem,2008]

ح) معیار خطأ التنبؤ النهائی  Final Prediction Error

    تم تعریف معیار خطأ التنبؤ النهائی من قبل العالم أکاکی عام 1969 ویرمز له FPE، ویستخدم لتحدید رتبة النموذج ویتم تقدیره وفق الصیغة الأتیة: [Matroushi, 2011]

      حیث أن: :FPE     یمثل خطأ التنبؤ النهائی. 

7-     تشخیص نماذج دالة التحویل

 Identification of Transformation Function Models

  إن النظام الحرکی(Dynamic System) الذی تتصف به نماذج دالة التحویل یجعل سلسلة المدخلات Input Series)) تحدث تغیراتها فی سلسلة المخرجات( (Output Seriesوذلک عن طریق دالة التحویل. کما أن سلسلة المخرجات تتأثر أیضاً بمتغیر آخر تمثل بسلسلة الأخطاء العشوائیة  تسمى بالتشویش الابیض White Noise)). بافتراض أن التغیر فی یؤدی إلى حدوث تغییر فی   فأنه من المحتمل أن یحدث زمن تأخیر( ویعرف زمن التأخیر على انه مقدار التغیر الحاصل فی المخرجات نتیجة التغیرات الحاصلة فی المدخلات) فی استجابة النظام للمتغیرات لذا تم افتراض (d) یمثل عدد الفترات الزمنیة التی تنقضی قبل أن تبدأx  فی التأثیر فی المتغیر التابع, فیعبر عن نموذج دالة التحویل وفق الصیغة الأتیة: [Montgomery et al., 2008]

حیث أن

  أن المعلمات qn,  pn, s, r, d تفسر کما یلی: d: تمثل زمن التأخیر او عدد الوحدات الزمنیة قبل أن تبدأ   فی التأثیر على  . r: تعنی المخرجات تتأثر بقیمتها السابقة حتى التخلف الزمنی r. s: تعنی القیمة الجدیدة لــ    ستستمر فی التأثیر على  لعدد s من الفترات الزمنیة. pn: تمثل رتبة الانحدار الذاتی لسلسلة التشویش الابیض . qn: تمثل رتبة المتوسط المتحرک لسلسلة التشویش الابیض .

  أن عملیة تشخیص نموذج  دالة التحویل تمر بعدة خطوات وهی:

أولاً: تهیئة سلسلتی الادخال والاخراج               

    یتم فی هذه المرحلة فحص کل من سلسلتی المدخلات والمخرجات اذا کانت مستقرة ام غیر مستقرة واذا کانت البیانات غیر مستقرة بالتباین یتم أخذ التحویلات اللازمة لتثبیت التباین وأخذ الفروقات اللازمة فی حالة عدم استقرار الوسط وکذلک یتم أزالة الاثر الموسمی عندما تحتوی السلسلة على تغیرات موسمیة. وعند اخذ التحویلات والفروقات اللازمة فی حالة کون سلسلة المدخلات غیر مستقرة یجب اخذ نفس التحویلات والفروقات لسلسلة المخرجات.

ثانیاً: إجراء تبییض سلسلتی الادخال والاخراج

    یقصد بعملیة تبییض السلسلة بإیجاد نموذجARIMA  الملائم لها للحصول على سلسلة البواقی. بافتراض لدینا سلسلة المدخل  وان نموذج ARMA لها کالتالی]سید أحمد ، 2015[:

   حیث ان  تمثل سلسلة المدخل المبیضة. کذلک سیتم تبییض سلسلة المخرج  بنفس الطریقة وکما یلی:

حیث ان  تمثل سلسلة المخرج المبیضة.

ثالثاً: تقدیر الارتباطات المتقاطعة واوزان الاستجابة النبضیة لدالة التحویل:

     بعد الحصول على سلسلة البواقی للمدخل  والمخرج  المقابلتین لکل من سلسلة المدخل والمخرج  على التوالی یتم حساب الارتباطات المتقاطعة بینهما بتخلفات زمنیة مختلفة لسلسلتین  و   وفق المعادلة (3). یمکن الحصول على التقدیرات المباشرة لأوزان الاستجابة النبضیة لنموذج دالة التحویل باستخدام المعادلة الآتیة:

حیث أن:  : تمثل أوزان دالة التحویل. : تمثل الأنحراف المعیاری لسلسلة المخرج المبیضة  .

 : تمثل الأنحراف المعیاری لسلسلة المدخل المبیضة .

رابعاً: تحدید  قیم (s,r,d)لنموذج دالة التحویل:

     إن من أهم المهام الأساسیة فی تشخیص نموذج دالة التحویل هو تحدید القیم الملائمة لرتبة النموذج r,s,d)) . حیث أن هذه المهمة غیر واضحة تطبیقیاً رغم أن المؤشرات اللازمة للتشخیص تشیر الى أن r)) تمثل درجة الدالة  وأن s)) تمثل درجة الدالة  وکذلک d)) تمثل فترة التأخیر بمتغیر المدخل والتی تکون هی الأبسط فی تحدید قیم الرتبة فی عملیة التشخیص لکونها تمثل قیمة الازاحة عند أول ارتباط متقاطع معنوی یختلف عن الصفر بین سلسلة المدخل  وسلسلة المخرج . اما درجة الدالة  یمکن تحدیدها بعد معرفة أول ارتباط معنوی فان الارتباطات التی تلیه غیر المعنویة ناقص واحد. ویتم تحدید درجة الدالة  ایضاً من خلال معاملات الارتباط التقاطعی فبعد أن حصل انقطاع لمعاملات الارتباطات التی تم من خلالها تحدید درجة الدالة  سوف نأخذ الارتباطات التی تلیها إلى أن نحصل أیضا على انقطاع إلى الصفر فأن درجة الدالة  تساوی عدد تلک الارتباطات غیر المعنویة ناقص واحد [Vandel,1992]

9- تقدیر معلمات نموذج دالة التحویل:

Estimation the Parameters of the Transfer Function Model

   ان معلمات نموذج دالة التحویل یوجد لها تقدیران وهما:

اولاً: التقدیر الأولی لمعلمات دلة التحویل

   بعد التعرف على رتبة نموذج دالة التحویل ای تحدید قیم کل من (r,s,d) یتم تقدیر معلمات النموذج من خلال المعادلات الاتیة[Box et al., 2016]

ثانیاً: التقدیرات النهائیة لمعلمات دالة التحویل:

    یتم تقدیر المعلمات النهائیة لدالة التحویل من خلال أخذ عدة قیم للمعلمات وایجاد متوسط مربعات الخطأ واختبار النموذج الذی قیم معلماته تعطی أقل قیمة لمعیار متوسط مربعات الخطأ وکذلک التحقق من عشوائیة بواقی النموذج من خلال رسم کل من دالة الارتباط الذاتی ودالة الارتباط الذاتی الجزئی للبواقی ودالة الارتباط التقاطعی بین کل من بواقی النموذج وبواقی المدخلات (سلسلة المدخلات المبیضة).

10- تقدیر قیم سلسلة التشویش الأبیض: Estimate the Values of the white Noise Series

   بعد تقدیر قیم أوزان دالة التحویل وفق المعادلة (12) یتم تقدیر سلسلة التشویش الأبیض من خلال المعادلة الأتیة:

   وبعد ایجاد قیم سلسلة التشویش الابیض  یتم تشخیص نموذج ARIMA الملائم لسلسلة التشویش الأبیض حیث یتم أولاً التأکد من استقراریة السلسلة ثم فحص کل من دالتی الارتباط الذاتی والارتباط الذاتی الجزئی لتحدید رتبة نموذج ARIMA(p,d,q).

11- اختبار دقة ملائمة نموذج دالة التحویل:

Test the Accuracy of the Fit of the Transform Function Model

   بعد أن تم تحدید شکل نموذج دالة التحویل وتقدیر جمیع معلماته، لابد من أختبار النموذج للتأکد من صحته وأستخدامه فی التنبؤ ]البدرانی والحیالی ، 2013[. حیث یتم اختبار النموذج من خلال رسم دالة الارتباط الذاتی للسلسلة النهائیة  ویجب ان تکون عشوائیة بمعنى قیم الارتباطات الذاتیة جمیعها تقع داخل حدود الثقة. ویجب اختبار دالة الارتباط التقاطعی بین سلسلة البواقی وسلسلة المدخلات المبیضة والتحقق من شرط الاستقلالیة حیث یجب ان تقع قیم معاملات الارتباط التقاطعی ضمن حدود الثقة [Aryani et al., 2015].

12- التنبؤ             Forecasting

    أن القیام بعملیة التنبؤ له فائدة کبیرة ومهمة جداً خاصة فی المجالات الاقتصادیة کما ان دقة التنبؤ تعتبر المقیاس الأساسی فی أختبار طریقة التنبؤ الانسب والحکم على جودة الاسلوب المستخدم. حیث یقصد بالدقة فی التنبؤ مدى قدرة النموذج المقترح على اعادة انتاج البیانات المتوفرة ویجب الاخذ بعین الاعتبار انه لا یمکن ان یکون التنبؤ دقیقاً بشکل عالی بل هو ینحرف دائماً عن القیم الفعلیة للظاهرة المدروسة وهذا الانحراف هو ما یطلق علیه خطأ التنبؤ ورغم ان هذا الخطأ یتنبأ به فأن الهدف من التنبؤ هو تخفیض درجة الخطأ الى اقل قیمة قدر الامکان. ومن المعاییر التی تم استخدامها لغرض قیاس فعالیة التنبؤ التی تعتبر خطوة مهمة فی تقییم اسلوب التنبؤ المعتمد (ای درجة الدقة) معیار متوسط الخطأ حیث یعکس هذا المعیار متوسط مجموع الأخطاء الناجمة عن تطبیق أسلوب تنبؤ معین.  کلما کانت قیمة متوسط الخطأ قریبة من الصفر کلما کان اسلوب التنبؤ اکثر دقة, وعندما تکون قیمة  موجبة فان اسلوب التنبؤ المعتمد یعطی نتائج متشائمة (غیر جیدة) لان معظم الاخطاء موجبة, اما عندما تکون قیمة  سالبة فان التنبؤ المعتمد یعطی نتائج متفائلة لان معظم الاخطاء تکون سالبة. وان الصیغة الریاضیة لمعیار متوسط الخطأ کالتالی[Al-Maleki,2017]:

13- الجانب العملی

     البیانات المستخدمة فی تطبیق الفقرات السابقة تضم مشاهدات سلسلتین زمنیتین حجم کل منها یساوی (180) مشاهدة شهریة للفترة من عام (2005) ولغایة (2019). وأن هذه البیانات تمثل معدل السعر الشهری لبرمیل النفط الخام بالدولار الأمریکی لمنظمة اوبک وسعر نفط برنت. ان اول خطوة هی رسم الاتجاه العام لکلتا السلسلتین الادخال والاخراج لمعرفة ما إذا کانت البیانات مستقرة أم لا کما فی الشکل (1) إذ نلاحظ من خلال الشکل بأن السلسلتین غیر مستقرتین فی التباین والوسط وقد تم اخذ تحویلة الجذر التربیعی لتثبیت التباین واخذ الفرق الاول لتثبیت الوسط الحسابی کما فی الشکل (2).

بعد استقراریة سلسلتی الادخال والاخراج یتم تنقیتهما من خلال تحدید النموذج الملائم لسلسلة الادخال (Brent oil) للحصول على سلسلة بواقی مستقلة وذلک بملاحظة سلوک دالتی الارتباط الذاتی والارتباط الذاتی الجزئی لسلسلة الادخال کما فی الشکل (3) حیث یتضح من الشکل بان النموذج الملائم هو ARIMA(1,1,1) لکن عند فحص البواقی وجد بانها غیر عشوائیة لذلک تم فحص عدة نماذج وتبین بأن أفضل نموذج لسلسلة الادخال هو نموذج ARIMA(1,1,0) لامتلاکه اقل القیم للمعاییر الاحصائیة (MSE=0.1056, AIC=-381.145, BIC=-378.009, FPE=-0.106235) .

وان قیمة معلمة النموذج الملائم ARIMA(1,1,0) هی  والشکل (4) یمثل رسم کل من دالة الارتباط الذاتی ودالة الارتباط الذاتی الجزئی لبواقی النموذج الملائم ARIMA(1,1,0) إذ نلاحظ بأن قیم معاملات الارتباط الذاتی والذاتی الجزئی تقع ضمن حدود الثقة مما یدل على عشوائیة البواقی.

وعلیه فإن قیم سلسلة المدخلات والمخرجات المبیضة  یتم تقدیرها وفق المعادلتین الاتیتین:

بعد تقدیر قیم کل من سلسلة المدخلات والمخرجات المبیضة یتم تقدیر دالة الارتباط التقاطعی بینهما وذلک لتحدید رتبة دالة التحویل کما فی الشکل (5) حیث یتضح من الشکل بأن أول ارتباط معنوی هو عند الصفر یعنی ان (d=0) وأن  r =2 , s=2 وبذلک تکون الصیغة التقدیریة لنموذج دالة التحویل على النحو الآتی:

 لقد تم تقدیر قیم معلمات النموذج اعلاه وفق المعادلة (13) وکانت

    .اما سلسلة التشویش الابیض  فقد تم تقدیر قیمها وفق المعادلة (14) ولقد تم رسم السلسلة واتضح بانها مستقرة وبعد التأکد من استقراریتها تم تشخیص نماذج ARIMA لها وفق المعاییر الاحصائیة وتم التوصل بان افضل نموذج هو ARIMA(2,0,3) لامتلاکه اقل القیم للمعاییر الاحصائیة (MSE=0.00637, AIC=-854.419, BIC=-838.74, FPE=-0.00626)) . وبذلک اصبح نموذج دالة التحویل النهائی کالاتی:

      وان القیم النهائیة للمعلمات هی

    وبعد تقدیر المعلمات النهائیة تم رسم دالة الارتباط الذاتی للسلسلة النهائیة  ودالة الارتباط التقاطعی بین سلسلة البواقی وسلسلة المدخلات المبیضة کما فی الشکل (6) وکانت قیم الارتباطات الذاتیة والتقاطعیة جمیعها تقع داخل حدود الثقة وهذا یدل على عشوائیة السلسلة  وتحقق شرط الاستقلالیة بین سلسلة البواقی وسلسلة المدخلات المبیضة.

 بعد الحصول على افضل نموذج دالة تحویل سیتم التنبؤ بالقیم المستقبلیة لتسعة اشهر کما فی الجدول الاتی وان قیمة ME=-0.00851 .

الجدول (1) : القیم الاصلیة والقیم التنبؤیة لأفضل نموذج دالة تحویل.

14- الاستنتاجات

    ان من اهم الاستنتاجات التی تم التوصل الیها کالاتی:

1-     بعد فحص کل من سلسلتی المدخلات والمخرجات وجد بانهما غیر مستقرتین بالوسط الحسابی والتباین وتم تحقق الاستقراریة بعد اخذ تحویلة الجذر التربیعی واخذ الفرق الاول للسلسلتین.

2-     تم تبیض السلسلتین الزمنیتین بالنموذج ARIMA(1,1,0) لأنه النموذج المناسب لهذه السلاسل.

3-   من خلال دالة الارتباط التقاطعی بین السلسلتین المبیضتین للمدخلات والمخرجات تم تحدید رتبة نموذج دالة التحویل وهو (s,r,d)=(2,2,0) . وبعد تقدیر قیم سلسلة التشویش الابیض تم تشخیصها بالنموذج ARIMA(2,0,3) لأنه النموذج المناسب لهذه السلسلة.

4-     بعد تشخیص نموذج دالة التحویل للبیانات تم التنبؤ بالقیم المستقبلیة لتسعة اشهر وکانت قیمة     ME=-0.00851  سالبة ای ان معظم الاخطاء تکون سالبة وهو دلیل على ان التنبؤ المعتمد یعطی نتائج متفائلة.