Treatment of time series instability - review article-

- When using electricity generation data, the Fuzzy method showed progress over (Box Jenkins, Exponential Smoothing, DoubleExponential Smoothing, Exponential Smoothing Moving Averages, Neural Network) through a clear decrease in the values ​​of the comparison criteria (MSE, AIC, BIC).
2- To make the smoothed series more stable, the first difference of the data was taken, and the autocorrelation and partial autocorrelation coefficients of the time series were matched.
3- The model ARIMA (0,1,3) was chosen from among several models that refer to smoothed series data using the Fuzzy method, as (MSE = 0.572).

مقدمة  Introduction

من أهم المشاکل التی تواجه الباحثین عند القیام بتحلیل سلسلة زمنیة هو أستقراریة السلسلة من عدم أستقراریتها وانطلاقا من هذه الأهمیة القصوى فقد ارتأینا معالجة عدم الاستقراریة فی بیانات السلاسل الزمنیة أولا وهو الأسلوب المتعارف علیه فی معظم دراسات نماذج الانحدار الذاتی والمتوسطات المتحرکة المتکاملة .(الصفاوی والطائی،2003) یمکن أن یؤثر على دقة النموذج الریاضی الذی یروم کل باحث الوصول ألیه بأقل خطأ ممکن . تعد النماذج المستقرة Stationary Models من أهم الأصناف التی لقیت اهتماما من الباحثین، حیث تفترض هذه النماذج ثبات الوسط الحسابی للسلسلة الزمنیة، وفی حالة عدم تحقق هذا الشرط تتحول هذه النماذج إلى نماذج غیر مستقرة وهی السمة الغالبة لکثیر من السلاسل الزمنیة المستخدمة فی قطاعی الصناعة والأعمال.

1-       السلسلة الزمنیة    Time Series

 تعرف السلسلة الزمنیة بانها مجموعة من المشاهدات لظاهرة معینة خلال فترة زمنیة غالباً ما تکون متساویة ومتتالیة، وتعرف ریاضیاً بأنها متتابعة من المتغیرات العشوائیة معرفة ضمن فضاء الاحتمالیة متعدد المتغیرات ومؤشرة بالدلیل (t) الذی یعود إلى مجموعة دلیلیه (T) ویرمز للسلسلة الزمنیة عادة بالرمزوان هذه المتتابعة تتوزع تبعاً لدالة التوزیع المشترک لمجامیع المتغیرات العشوائیة   وهی  

ویمکن تمثیل السلسلة الزمنیة بوضع الزمن على المحور الافقی وقیم الظاهرة على المحور الرأسی فأذا أظهرت السلسلة الزمنیة إتجاهاً معیناً او طابعاً خاصاً خلال فترة ممتدة من الزمن فأننا نتوقع أن یستمر حدوث هذا الطابع أو الأنتظام فی المستقبل أیضاً وذلک یعتبر أساساً معقولاً للتنبؤ. (Miljanovic , 2012).    

2-      استقراریة السلسلة الزمنیة:                    Stationarity of Time Series

یقال للسلسلة الزمنیة بأنها مستقرة (Stationary) إذا لم یکن هناک نمو أو انحراف فی البیانات ای بمعنى عدم ظهور اتجاه عام أی تبعثر البیانات أفقیا حول متوسط ثابت ، وکذلک التباین یکون ثابتا عبر الزمن (Makridakis et al. , 1998) ، ویمکن القول بان السلسلة المستقرة التی تکون مبنیة على أساس إفتراض أن السلسلة فی حالة خاصة من الموازنة الإحصائیة أی امتلاکها وسطاً حسابیاً وتبایناً ثابتین مع استمرار الزمن، عندها یقال أن السلسلة مستقرة فی الوسط والتباین. وتکون مستقرة إذا لم یکن هناک إتجاه إلى الأعلى أو الأسفل فی المعدل عبر الزمن أو عدم ظهور اختلاف حول الوسط .المقصود بالإستقراریة إنّ مشاهداتها تتذبذب عشوائیاً حول المتوسط وهناک نوعین من الاستقراریة وهما: ] ثامر والشرابی ،2020[

4 - عدم استقراریة السلسلة الزمنیة     Non-Stationarity of Time Series

إن معظم الظواهر التطبیقیة والعملیة فی السلاسل الزمنیة تتصف بخاصیة عدم الاستقراریة ومن احد اسباب عدم استقراریة السلسلة هو  وجود اتجاه عام ووجود تقلبات موسمیة  وعدم استقرار التباین أو الوسط الحسابی عبر الزمن . لذلک یطلق علیها سلسلة غیر مستقرة ، حیث تعد حالة عدم الاستقراریة فی السلسلة مشکلة رئیسیة، ألا أن هنالک حلولاً یمکن من خلالها تحویل السلاسل غیر المستقرة إلى سلاسل زمنیة مستقرة عن طریق الدراسة المتأنیة للعوامل التی تؤثر فیها وتجعلها غیر مستقرة. (المحمدی و طعمة ، 2011)

5 - معالجة  عدم الاستقراریة فی السلاسل الزمنیة         Treatment of Non - Stationarity in Time Series

إن الخطوة الأولى فی تحلیل أیة سلسلة زمنیة هی الرسم البیانی لمشاهدات السلسلة مع الزمن ، حیث یُظهر الرسم الملامح الوصفیة للبیانات مثل وجود اتجاه عام والبیانات الشاذة أو زیادة تشتت بیانات هذه السلسلة مع مرور الزمن أی أن تباین المشاهدات یزداد مع زیـادة مسـتوى السلسلة ، نسـتنتج من ذلک بأن السلسلة الزمنـیة غیر مستقرة Non–Stationary لذلک یستحسن تحسین أو تعدیل السلسلة أی التخلص من مشکلة عدم الاستقراریةوهذا یتطلب أخذ بعض الإجراءات لجعل السلسلة مستقرةوهذه الإجراءات هی(فاندل ، 1983)  :-

5-1 بوکس جنکیز    Box-Jenkins :

تعد هذه الطریقة من أهم طرائق المعالجة وتسمى طریقة الفروق Differencing ، إن طریقة الفروق المتتالیة Consecutive Differencing هی طریقة عظیمة الفائدة لوجود أنموذج لاتجاه عام عشوائی فی عدد کبیر من السلاسل الزمنیة التجاریة والاقتصادیة . وعلى الرغم من وجود فهم عام لمعنى الاتجاه العام ، فأنه من الصعب إعطاء تعریف أکثر دقة من التعریف القائل بأن الاتجاه العام هو( تغیر منتظم فی مستوی السلسلة الزمنیة ) . ویعد هذا أفضل تعریف موجود للاتجاه العام على الرغم من عدم توافر الدقة الریاضیة له . وترجع صعوبة تعریف الاتجاه العام إلى أن مشاهدات سلسلة زمنیة قصیرة قد تظهر ما یعتقد انه تغیر فی مستوى السلسلة ، ولکن عند الحصول على بیانات سلسلة أطول یتبین لنا ان ما شاهدناه کان جزءاً من تغیرات دوریة ولم یکن اتجاهاً عاماً .

 5-2 نموذج مامدانی المضبب                     Mamdani Fuzzy Model:

تم اقترح هذا النموذج من قبل العالم E.H.Mamdani فی عام 1974 . فلنفرض أن لدینا عدداً محدداً من القواعد ولتکن وکانت هی مجموعات مضببة متعلقة بالقاعدة R_i حیث إن i=1,2,…,r. إن نموذج مامدانی فی نظام الاستدلال یکون جزء الإخراج من القواعد عبارة عن متغیرات لغویة مضببة تعرف من خلال دالة العضویة الخاصة بکل منها ویکون له الشکل العام الآتی:

5-3 الشبکة العصبیة ذات الانتشار العکسی:       Backpropagation Neural Network

 تعتمد الشبکة العصبیة ذات الانتشار العکسی للخطأ على طریقة الانحدار التدریجی (Gradient Descent) وذلک لإیجاد القیمة الصغرى لمربع الخطأ الکلی لقیمة المخرجات المحسوبة من قبل الشبکة حیث تحدث الأوزان بین الطبقات لحین الوصول إلى الأوزان المثلى التی تعطی اقل خطأ بین مخرجات الشبکة العصبیة وبیانات النموذج (قیم المعیار(Criterion Section)) حیث تستخدم هذه الأوزان لحساب تکهنات جدیدة لم یسبق للشبکة العصبیة إن تدربت علیها. إن الخطوات الأساسیة وفق هذه المنهجیة تتم بحساب أخطاء مستوى المخرجات لتحدیث أوزان طبقة المستوى(المخفی-المخرجات) ثم حساب أخطاء المستوى المخفی لتحدیث أوزان طبقة مستوى (المدخلات-المخفی) وبعد ذلک نحسب مخرجات الشبکة بالأوزان الجدیدة لتستمر العملیة فی حساب الأخطاء لتحدیث الأوزان لغرض الوصول إلى اقل خطأ فی الشبکة العصبیة. تتضمن طریقة التدریب للشبکة العصبیة باستخدام الانتشار العکسی ثلاث مراحل:

• مرحلة الانتشار الأمامی للخطأ.
• مرحلة الانتشار الخلفی للخطأ.
• مرحلة تولیف الأوزان.

5-4 التمهید الاسی:

یعد موضوع التمهید الاسی للتنبؤ بالسلاسل الزمنیة من الاجراءات الاحصائیة والاستدلالیة المهمة والتی تعالج التشویش او الاخطاء العشوائیة ویعرف التمهید بنه عملیة صقل او تنعیم البیانات وهو عبارة عن تقنیة احصائیة للکشف عن تقلبات معنویة لغرض جعل البیانات مستقرة ویمکن تحلیلها ، واساس عمل هذه التقنیة هو اعطاء البیانات الاقدم اقل الاوزارن والبیانات الاحدث اعلى الاوزان وبشکل تدریجی وبعد المعالجة  یمکن اجراء التنبؤ للبیانات الممهدة اسیاً، ویعتبر العالم holt c.c (1958) اول من وضع هذه التقنیة وقد تطورت هذه الطرائق وتعددت واصبحت بأشکال عدة لذا وجب اختیار الطریقة الاکثر ملائمة (داؤد وصالح ،2018).ومن طرائق التمهید الاسی:

5-4-1التمهید الاسی البسیط simple Exponential Smoothing

اقترحت هذه الطریقة من قبل Holt c.c (1958)   وکان فی البدایة یستخدم فقط للسلسة الزمنیة غیر الموسمیة ثم بعد ذلک اکد الباحث (Browns , 1963) على امکانیة استخدامه لاکثر انواع السلاسل الزمنیة ، ثم اکمل طریقه الباحث (Harrison , 1965)  وان اجراءات هذه الطریقة : (داؤود وصالح ،

                            …

5-4-2 نموذج التمهید الاسی المزدوج    Double Exponential Smoothing

فی التمهید الاسی البسیط نفترض ان السلسلة ثابتة فی بعض الحالات ، وان بعض السلاسل الزمنیة تمتلک اتجاه عام (Overall trend) وان طریقة التمهید الاسی الثنائی تکون مفیدة فی هذه الحالة حیث تعمل هذه الطریقة على تنعیم بیانات السلسلة الزمنیة مرتین ، ویستخدم التمهید الاحصائی من الرتبة الاولى والثانیة لحساب التنبؤ ویستخدم رمز (') للاشارة الى سلسلة التمهید من الرتبة الاولى کما فی المعادلة الاتیة: (الجبوری، 2010)

علما ان

                 …        

والتنبؤات للقیم المستقبلیة من

نحسب القیم الأولیة   و  من                                          

…                                                          

5-4-3 التمهید الآسی للأوساط المتحرکة   Exponential Smoothing Moving Averages

یستخدم المتوسط المتحرک لتمهید الشاهدات وذلک بتقلیل تباین الاخطاء فمثلا لو کان لدینا مشاهدات من متسلسلة زمنیة  فالمتوسط المتحرک من الدرجة m للمشاهدات یعطى بالعلاقة التالیة:

              …

لاحظ ان عدد المشاهدات أصبح بعد التمهید .

ولکی نرى کیف یعمل التمهید لتقلیل تباین الأخطاء لنفترض ان المشاهدات تتبع النموذج

فیکون

وبالتالی

                                …

إی ان المشاهدات الممهدة أصبح تباینها اصغر ب (m) ضعف من المشاهدات الأصلیة وهذا التمهید للأخطاء یظهر إی نمط فی المتسلسلة کان مدفونا او مغطى من تاثیر الاخطاء.

6- نماذج بوکس وجنکیز:          Box-Jenkins

من النماذج المستخدمة فی السلاسل الزمنیة هو أنموذج الانحدار الذاتی والمتوسطات المتحرکة الذی یعرف أحیانا بأنموذج بوکس جنکیز حیث یجمع منهجیتین فی معادلة واحدة وسوف نقوم باستعراض النماذج للتعرف علیها وهی:

6-1              إنموذج الانحدار الذاتی                     Autoregressive Model (AR)

یمکن تعریف إنموذج الانحدار الذاتی بأنه یصف العلاقة بین المشاهدات السابقة والحالیة، وأن دالة الارتباط الذاتی له تتناقص تدریجیاً بشکل أسی متخذة شکلاً منحنیاً تنازلیاً فی حین أن دالة الارتباط الذاتی الجزئی له تنقطع بعد الفترة p. وأن الصیغة العامة لهذا النموذج من الرتبة (p)   . [Box et al.,2016]

حیث أن:

        : تمثل الخطأ العشوائی أو ما یسمى بالتشویش Noise یتوزع توزیعاً طبیعیاً بوسط حسابی صفر وتباین ثابت مقداره .

 : تمثل معلمات إنموذج الأنحدار الذاتی.

وأن المتغیرات المفسرة تمثل القیم السابقة لمتغیر الاستجابة  أی القیم المزحفة للمتغیر  .

6-2 إنموذج الأوساط المتحرکة    Moving Average Model(MA)  

أن فلسفة هذه النماذج تعتبر أن المشاهدة الحالیة للسلسلة الزمنیة  هی دالة خطیة فی الأخطاء السابقة  بالإضافة إلى الخطأ العشوائیة   وهنا نجد أن رتبة هذه العملیة تساوی عدد معاملات الإنموذج التی یجب تقدیرها. وان الصیغة العامة لهذا الإنموذج من الرتبة (q) واختصاراً MA(q) تاخذ الشکل الاتی:[Box et al., 2016]

حیث أن:

: تمثل معلمات المتوسطات المتحرکة.

 ویتم تحدید رتبة الأنموذج من دالة الارتباط الذاتی له حیث تنقطع بعد فترة q فی حین دالة الارتباط الذاتی الجزئی تتناقص تدریجیاً بشکل منحنی تنازلی.

6-3 النماذج المختلطة (الانحدار الذاتی-المتوسطات المتحرکة):

     Mixed Models (Autoregressive-Moving Average) (ARMA)                             

  وأن فلسفة هذه النماذج تعتبر  أن المشاهدة الحالیة للسلسلة الزمنیة   هی دالة خطیة فی کل المتغیرات السابقة  والأخطاء السابقة  بالإضافة إلى الخطأ العشوائیة    ویرمز لهذا الإنموذج باختصار ARMA(p,q). ویستخدم فی حالة کون البیانات مستقرة، وأن دالتا الأرتباط الذاتی و الأرتباط الذاتی الجزئی له یتناقصان تدریجیاً. الصیغة العامة لهذا الإنموذج من الرتبة (p,q) تأخذ الشکل الاتی: (ثامر والشرابی،2020)

6-4   النماذج المختلطة المتکاملة:

Autoregressive Integrated Moving Average Models(ARIMA) 

ان هذا الإنموذج یعوض عن دراسة سائر النماذج ویرمز له بالرمز ARIMA(p,d,q). الصیغة العامة لهذا الإنموذج من الرتبة (p,d,q) یکتب بالشکل الآتی: [Box et al., 2016]

حیث أن :

            …(10)

-7 معاییر اختیار افضل نماذج السلاسل الزمنیة:

Criteria for Choosing the Best Time Series Models

ان طریقة Box-Jenkins  من الطرق الشائعة الاستخدام ذات الکفاءة العالیة فی توفیق السلاسل الزمنیة التی تعکس سلوک السلسلة الزمنیة ان کانت موسمیة او غیر موسمیة. ولتوفیق أفضل نموذج من نماذج السلاسل الزمنیة للرطوبة النسبیة تم استخدام معیارین:

أ-معیار اکاکی       (AIC) Akaike's Information Criterion

اقترح معیاره المستخدم والمسمى (AIC) الذی یعنی (Akaike Information Criterion) والمعرف کالتالی:

حیث ان (k) :تمثل عدد المعالم فی النموذج،و  مقدار التباین و  عدد المشاهدات، فلمعرفة أفضل نموذج نختار اقل قیمة للمعیار AIC(k) ،وقد اُعتمد هذا المعیار لکونه اکثر واوسع المعاییر استخداماً وملائمة للبیانات (الصفاوی والطائی ،2003).

ب- معیار معلومات بیزBayesian Information Criterion   

    ویحسب بالصیغة الآتیة

 (11)...

ج- معیار متوسط مربعات الخطأ(MSE):

                 …          (12)

حیث ان :  : تمثل عدد المشاهدات.

    :تمثل عدد المعلمات.

        :تمثل قیم المشاهدة.

    :تمثل القیم بعد إجراء التمهید للبیانات (Al-Safawi & Al-Taai,2003).

وکلما کانت قیمة (MSE) صغیرة کان النموذج المستخدم یمثل البیانات احسن تمثیل.

جمع البیانات  

     جمعت البیانات من مدیریة محطات کهرباء سد الموصل والتی تتألف من (366) مشاهدة ، وتعود الى بیانات یومیة لعام 2020 ، وهذه المشاهدات تمثل تولید الکهرباء الناتج من الماء الوارد من نهر دجلة ، اذ یعتمد التولید على تدفق الماء الوارد من ترکیا والامطار وذوبان الثلوج فی فصل الربیع .

مرحلة تهیئة البیانات   

    ان الافتراض الاساسی لتحلیل السلاسل الزمنیة ومطابقة النمذجة Modeling Fitting هو ان البیانات تکون مستقرة Stationary وابسط تعریف للسلسلة المستقرة انها لا تحتوی على اتجاه عام Trend ، اذ یتم فی هذه المرحلة تحضیر البیانات من خلال رسم شکل الانتشار واستخراج معاملات الارتباط الذاتی والجزئی وکذلک رسم حدود الثقة لدالة الارتباط الذاتی للبیانات الاصلیة (y) لمعرفة سلوک هذه البیانات وذلک باستخدام البرنامج الاحصائی Minitab ، فمن خلال الشکل (1) یلاحظ ان التباین یمیل الى الثبات لکن یلاحظ وجود اتجاه عام متزاید مع الزمن ، اذ یوجد تذبذب للسلسلة یبدأ بالصعود التتدریجی ثم الانخفاض التدریجیی  مما یدل على عدم استقراریة السلسلة الزمنیة فی المتوسط  .

وقد اکدت عدم استقراریه السلسلة الزمنیة ایضاً قیم معاملات الارتباط الذاتی والجزئی کما فی الشکلین (2) و (3) على التوالی :

ولکی تکون السلسلة مستقرة لابد من دخول جمیع معاملات الارتباط الذاتی للعینة ضمن حدود الثقة ما عدا عند الازاحة الاولى والثانیة فممکن ان تقع خارج حدود الثقة .

    ولغرض تحدید افضل طریقة لتنعیم (تمهید) البیانات وتحویل السلسلة الزمنیة الى سلسلة مستقرة  والتوصل لأفضل نموذج ، تم استخدام الطرائق التی التطرق الیها فی الجانب النظری : (Box Jenkins , Exponential Smoothing , DoubleExponential Smoothing , Exponential Smoothing Moving Averages , Fuzzy , Neural Network )

     وبعد تطبیق الطرائق على سلسلة بیانات تولید الکهرباء (y) ورسم السلسلة اتضح انها غیر مستقرة لذلک تم اخذ الفرق الاول على بیانات السلسلة الممهدة للحصول على سلسلة اکثر استقراریة :

بعد استقرار السلسلة الزمنیة یتم تشخیصها بنماذج ARIMA وذلک من خلال مشاهدة قیم معلمات دالة الارتباط الذاتی والارتباط الذاتی الجزئی لتحدید رتبة النموذج حیث یتم للحصول على سلسلة البواقی وذلک من خلال دالتی الارتباط الذاتی ACF و والارتباط الذاتی الجزئی PACF لکل طریقة ، ومن ثم یتم المفاضلة بین هذه الطرائق من خلال استخدام معاییر المقارنة الاحصائیة ( MSE , AIC , BIC ) لاختیار افضل نموذج وبالتالی افضل طریقة . والجدول (1) یوضح الانموذج الملائم لکل طریقة ومعاییر المقارنة الثلاثة الانفة الذکر :

من ملاحظة  النتائج الجدول فی (1) سجلت طریقة المضبب (Fuzzy) تفوقاً على طرائق(Box Jenkins , Exponential Smoothing , Double Exponential Smoothing , Exponential Smoothing Moving Averages , Neural Network )  وذلک من خلال الانخفاض الواضح فی قیم معاییر المقارنة ( MSE , AIC , BIC ) . ومن الجدول (1) لوحظ ایضاً ان النموذج الملائم لطریقة الـ  Fuzzy هو      ARIMA (0,1,3) وذلک من خلال اقل قیمة لـ ( 0.572= MSE) ، کذلک من خلال الاختبارات الاحصائیة (معنویة المعالم المقدرة وتحلیل دالة الارتباط الذاتی للبواقی ) . والشکلین (3) و (4) یبینا دالتی الارتباط الذاتی والذاتی الجزئی لسلسلة البیانات المستقرة بطریقة Fuzzy وعلى التوالی :

والشکلان (6) و(7) یوضحان دالتی الارتباط الذاتی والذاتی الجزئی  للبواقی :

ومن خلال الشکلین (6) و (7) لوحظ دخول جمیع معاملات الارتباط الذاتی للعینة ضمن حدود الثقة .

الاستنتاجات

على ضوء ما تم التوصل الیه فی الجانبین التجریبی والتطبیقی یمکن استخلاص اهم الاستنتاجات الخاصة بالبحث وکالاتی :-

1- عند استخدام بیانات تولید الکهرباء اظهر اسلوب Fuzzy تقدماً على طرائق (Box Jenkins , Exponential Smoothing , DoubleExponential Smoothing , Exponential Smoothing Moving Averages , Neural Network ) من خلال الانخفاض الواضح فی قیم معاییر المقارنة       ( MSE , AIC , BIC ) .

2- ولجعل السلسلة الممهدة اکثر استقراراً تم اخذ الفرق الاول للبیانات ، ومطابقة معاملات الارتباط الذاتی والذاتی الجزئی للسلسلة الزمنیة .

3-  تم اختیار النموذج ARIMA (0,1,3) من بین عدة نماذج والتی تعود الى بیانات السلسلة الممهدة باستخدام اسلوب Fuzzy ، اذ ان (MSE = 0.572) .