Study of the two-parameter Weibull distribution and Estimation of the scale and shape parameter application to the voltage data of the cement material (review)

The results reached are specific to the actual data from which the sample was drawn. The real data correspond to the Weibel distribution through the studied statistical laboratories. Obtaining special charts for the study according to the nature of the data. Note that the skewness of the nature of the data is positive as well as flattening with a light and flat tail. Obtaining the best estimator for the measurement parameter using a Bayesian method when information is available about the measurement parameter α and the shape β (Informative) for all the cases studied by obtaining the lowest MSE.

1. المقدمة Introduction

تم فی هذا البحث دراسة بعض الخصائص الاساسیة لتوزیع وایبل ذو المعلمتین حیث یعود تسمیته الى الباحث الفیزیائی السویدی Waloddi Weibull فی عام 1939 , وقد تم استخدام هذا التوزیع على نطاق واسع فی مشکلة العمر الافتراضی و الموثوقیة , , وربما یکون توزیع وایبل هو نموذج اکثر استخداماً على نطاق واسع ما بین التوزیعات فی المجالات الصناعیة وذلک لتطبیقه فیما یتعلق بالعمر الافتراضی لأنواع عدیدة من المنتوجات الصناعیة على نطاق واسع فضلاً عن تطبیقه فی المجال الطبی ومجالات اخرى (Bilal and Aslam,2021).

تم تقدیر معلمة القیاس لهذا التوزیع عندما تکون معلمة الشکل معلومة بطریقة الامکان الاعظم (Maximum Likelihood Estimation) و التی تکون شائعة الاستخدام و ذلک من خلال معرفة التوزیع الاحتمالی للمشاهدات و اعتبار المعلمة کمیة ثابتة . کما وتم استخدام اسلوب بیز (Bayesian Approach) وذلک باستخدام المعلومات حول المعلمة من المشاهدات فضلاً عن المعلومات السابقة للمعلمة فی حالتین ذو معلومات و عدیم المعلومات (Informative and Non-Informative) على اعتبار ان المعلمة متغیر عشوائی له توزیع احتمالی (Saholz,2015).

2- توزیع وایبل

فی نظریة الاحتمالات والإحصاء یعد توزیع وایبل توزیع احتمالی مستمرومن المعلوم لدینا ان توزیع وایبل له صیغ مختلفة ومن بینهذه الصیغ توزیع وایبل ذو المعلمتین, الاولى معلمة الشکل (Shape parameter) و الثانیة معلمة القیاس (Scale parameter) , حیث ان دالة توزیع وایبل ذو المعلمتین (Rinne,2008) تأخذ الصیغة الاتیة:

اذ ان:

(α > 0) وهی معلمة القیاس

اما  (β > 0 ) تمثل معلمة الشکل.

ونلاحظ من الشکل (a-1) ان منحنی دالة کثافة الاحتمال ملتوی التواء موجب ویزداد التواء المنحنى بزیادة قیمة معلمة الشکل β وکذلک نلاحظ من المنحنى ان معلمة القیاس تؤثر على التفلطح وبزیادة معلمة القیاس یزداد التفلطح.

3- الحالات الخاصة للتوزیع

عندما تکون قیمة =1)) فان توزیع وایبل سوف یتحول الى التوزیع الاسی والدالة تصبح کالآتی:

عندما تکون قیمة =1)) فان توزیع وایبل سوف یتحول الى التوزیع الاسی العام معلمة واحدة کالآتی:

والشکل (b-1) یوضح الدالة التجمیعیة  F(x) لتوزیع وایبل کالآتی:

والشکل(c-1) یوضح دالة البقاء لتوزیع وایبل وفق الصیغة الاتیة:

والشکل(d-1) یوضح دالة الخطورة لتوزیع وایبل وفق الصیغة الاتیة:

وبتعویض معادلة دالة الکثافة فی المعادلة (1) ودالة البقاء فی المعادلة (3) نحصل على:

الشکل (1) دالة کثافة الاحتمال والدالة التجمیعیة ودالة البقاء ودالة معدل الفشل لتوزیع وایبل ذو معلمتین

4- خصائص التوزیع

1-4 المنوال و الوسیط

• ·         المنوال :

هو القیمة الأکثر تکرارًا فی مجموعة البیانات، ویمکن أن تحتوی مجموعة البیانات الواحدة على منوال واحد، أی تکون قیمة واحدة هی الأکثر تکرارًا، أو یکون هناک أکثر من منوال، أی تحتوی مجموعة البیانات على مجموعة قیم متکررة بنفس عدد المرات، کما یمکن ان تکون  مجموعة البیانات لا تحتوی على أی منوال (Nabeshima and Gunji,2004) ویمکن الحصول على المنوال لتوزیع وایبل ذو المعلمتین على النحو الاتی, وبأخذ اللوغاریتم الطبیعی للمعادلة (1) نحصل على:

وبأخذ المشتقة نسبة الى x مع مساوات المعادلة بالصفر نحصل على:

نحصل على:

• ·         الوسیط :

هو القیمة الوسطى بین مجموعة من البیانات الإحصائیة ، ومن أبرز خصائص الوسیط أن تکون نصف البیانات أکبر منه ونصفها الآخر أصغر منه , یتم الحصول على (الوسیط ) للمتغیر العشوائی x لتوزیع  وایبل (Murthyet.al.,2004) وفق الصیغة الآتی:

على فرض ان x یمثل الوسیط، بأخذ اللوغاریتم الطبیعی للطرفین نحصل على:

2-4 العزم حول الصفر

حیث ان التوقع لـ r لتوزیع وایبل (Cho,2015) هو کالآتی:

عندما تکون قیمة r=1 :

عندما تکون قیمة r=2 ای لمعلمتین من معالم توزیع وایبل تصبح قیمة الدالة کالآتی:

أما التباین لتوزیع  وایبل (Bassiouni,2007) هو کالآتی:

3-4 الدالة المولد للعزوم لتوزیع وایبل

یتم استخدامها لإیجاد العزوم ویمکن ایجاده کالاتی(Ahmad,2013):

حیث ان: 

       ;

نشتق بالنسبة لـ u    نحصل على:

لنحصل على نواة توزیع کاما حیث ان    و ان  فان:

4-4 الالتواء و التفلطح

• ·         الالتواء :  یعرف عدم تناسق الاطراف (حول المتوسط) لمنحنى التوزیع بالالتواء, یتم اعطاء صیغة قیاس الالتواء التی قدمها (Kenney and Keeping, 1961‏) وفق قانون الالتواء الخاص استناداً الى المعادلة (7) على النحو الاتی:

-      عندما   یکون منحنى التردد سلبیاً منحرفاً

-      عندما  یکون منحى التردد ایجابیاً منحرفاً (السلمانی،2021)

• التفلطح :هو مؤشر لقیاس درجة تحدب أو تقوس دالة التوزیع الاحتمالی لمتغیر عشوائی حقیقی هو، إلى جانب التجانس من أهم معالم اشکال توزیع المتغیرات العشوائیة ویمکن من وصف شکل توزیع الاحتمالات فی جوار القیمة المتوقعة. حیث انه یمکن تمثیل قانون التفلطح الخاص بتوزیع وایبل (Bilici,2021) کالاتی:

-       عندما  فان المنحنى یکون حلزونیاً

-       عندما  فان المنحنى یکون واسع النطاق

-       عندما  یکون المنحنى متوسط الحجم او یمکننا القول لا یوجد تفلطح

 5- طرق التقدیر

لغرض تقدیر المعلمات لمجتمع احصائی هناک العدید من الطرائق الاحصائیة للتقدیر سنستعرض طریقتی الامکان الاعظم فضلاً واسلوب بیز والذی یتضمن ایجاد التوزیع اللاحق بالاعتماد على التوزیع السابق (ای توزیع Prior) ودالة الامکان فی تقدیر معلمتی التوزیع وعلى النحو الاتی(المتولی،2021):

1-5 التقدیر بطریقة التقدیر بالإمکان الأعظم

لتکن ( , ,…, ) قیم عشوائیة ذات حجم n فان التوزیع الاحتمالی المشترک للقیم العشوائیة للعینة (الناصر واخرون،2009) تعرف بدالة الامکان وفق الصیغة الاتیة:

للحصول على المقدر  یتم بحل المعادلة  وعند اخذ المشتقة الثانیة  یتم تحدید ما اذا کان مقدر المعلمة فی نهایته الصغرى ام العظمى .

وعلیه فان دالة الامکان لتوزیع وایبل (Aexopulos,2019) ستکون کالاتی:

وبأخذ اللوغاریتم للطرفین نحصل على:

                                                                                     …(15)

وسوف یتم ایجاد مقدرات معلمات التوزیع وفق الحالات الاتیة:

• تقدیر معلمة القیاس  عندما تکون معلمة الشکل معلومة.

بالاستناد الى المعادلة (15) یتم أخذ المشتقة نسبة الى  لنحصل على مقدر المعلمة کالاتی:

• تقدیر معلمة الشکل  عندما تکون معلمة القیاس معلومة.

بالاستناد الى المعادلة (15) یتم أخذ المشتقة نسبة الى  لنحصل على مقدر المعلمة کالاتی:

وبالاعتماد على الطرق العددیة یمکن الحصول على مقدر معلمة الشکل لـ  .

• تقدیر معلمتی القیاس والشکل.

بحل المعادلتین (16) و(17) بالطرق العددیة نسبةً  یتم الحصول على مقدر معلمتی القیاس   والشکل  .

2-5 اسلوب بیز او طریقة بیز

زاد الاهتمام بأسلوب Bayesian فی الآونة الاخیرة لتحلیل بیانات زمن الفشل وازدادت الاهتمام فی الحصول على مقدر المعلمة او معلمات عن طریقتها کبدیل عن الطرائق التقلیدیة والتی تجعل فیها المعلمة کمیة ثابتة، اما مدرسة بیز جعلت المعلمة متغیر عشوائی یتبع توزیع معین, حیث یعتمد اسلوب Bayes على جمع المعلومات حول المعلمة عن طریق المعلومات الاولیة (Prior) عن المعلمات غیر المعلومة (Non-Informative) او المعلومة (Informative) ودمجها مع معلومات العینة الموجودة فی دالة الامکان والتی تنتج من          خلالها التوزیع اللاحق  الذی یأخذ الصیغة المعروفة لأسلوب Bayes (Al-Naser,Saleh ,2009) لیتم تقدیر معلمتی توزیع وایبل عن طریقه، وهی:

1-2-5  تقریب لندلی Lindely Approximation

یُستخدم تقریب لندلی عندما یکون التوزیع اللاحق عبارة عن نسبة  تتضمن تکامل فی    البسط  والمقام لا یمکن اختزالها الى شکل مبسط حیث ان التوقع اللاحق للمعلمات غیر المعلومة  یکون معقداً ویصعب ایجاده فاذا کان التوقع اللاحق لـ  Abbas et al. 2019)‏).

وان تقریب لندلی للمعادلة (19) یکون کما فی الصیغة الآتیة

: یمثل مقدر الامکان الاعظم  للمعلمتین .  : دالة للمعلمة   و        :المشتقة الاولى  نسبة لــ  و  المشتقة الثانیة     نسبة الى

:المشتقة الثالثة للوغاریتم الطبیعی لدالة الامکان نسبة الى معلمات التوزیع المدروس .:  تمثل العنصر  (i,j) فی معکوس المصفوفة (  ) . : اللوغاریتم الطبیعی للتوزیع الاولی المشترک لمعلمات ای توزیع.  :تمثل مشتقة  . m: تمثل عدد معلمات.

2-2-5   عندما یکون التوزیع الاولی (Non-Informative)

وسوف یتم ایجاد معلمات التوزیع وفق الحالات الاتیة:

• تقدیر معلمة القیاس  عندما تکون معلمة الشکل  معلومة.

بافتراض ان المعلومات اولیة حول المعلمة (Non-informative) یتم الحصول علیها من خلال معلومات فیشر  (Ahmad,2013) ومنها سوف نحصل على معلمات حول المعلمة من خلال صیغةJeffery  التی اقترحها نفس العالم بصیغته :

اذ ان:

بالرجوع الى المعادلة (14) والتی تمثل دالة الامکان ودمجها مع التوزیع الاولی  التی تم الحصول علیها وفق المعادلة (21) وتعویضهم فی المعادلة (18) لنحصل على التوزیع اللاحق:

ان توزیع اللاحق اعلاه یمثل نواة توزیع معکوس کاما والذی تکتب وصفیاً  ویمکن کتابة التوزیع اللاحق  بصیغته النهائیة                  (Waheed and hashem,2006):

فان مقدر بیز لمعلمة القیاس لـ  هی:

• تقدیر معلمة الشکل  عندما تکون معلمة القیاس  معلومة.

وبدمج المعادلة (14) التی تمثل دالة الامکان مع التوزیع الاولی  التی تم الحصول علیها وفق المعادلة (21) وتعویضهم فی المعادلة (18) لنحصل على التوزیع اللاحق:

وللحصول على مقدر بیز لمعلمة الشکل یتم اخذ التوقع اللاحق للمعادلة (24) نسبة للمعلمة :

وبالاعتماد على الطرق تقریب لندلی فی المعادلة (20) للوصول الى مقدر بیز معلمة الشکل لـ  والموضح صیغتها ادناه.

• تقدیر معلمة القیاس والشکل عندما یکونان غیر معلومین

وبدمج المعادلة (14) مع التوزیع الاولی  حسب صیغة (Jeffery) فی المعادلة (21) وتعویضهم فی المعادلة (18) لنحصل على التوزیع اللاحق:

للحصول على مقدر بیز لکل من المعلمتین یتم ایجاد التوزیع الهامشی لکل معلمة کالاتی:

وبالاعتماد على الطرق تقریب لندلی فی المعادلة (20) للحصول على مقدر بیز لمعلمة  القیاس والشکل  :

3-2-5  عندما یکون التوزیع الاولی (Informative)

وسوف یتم تقدیر معلمات التوزیع وفق الحالات الاتیة:

• تقدیر معلمة القیاس  عندما تکون معلمة الشکل  معلومة.

لنفرض ان التوزیع الاولی یتبع توزیع کاما   (Bilal, et al  (2021)) والتی تأخذ الصیغة:

وبدمج التوزیع الاولی فی المعادلة (28) مع دالة الامکان فی المعادلة  (14) نحصل على التوزیع اللاحق حسب الصیغة فی المعادلة (18) (Azeiz,2009) وعلى النحو الاتی:

وان التوزیع اللاحق اعلاه تمثل نواة توزیع معکوس کاما والذی یکتب وصفیاً  لیصبح التوزیع اللاحق لـ  هو:

فان مقدر بیز اللاحق لمعلمة القیاس لـ α (غانم ومطانیوس،2011)هو:

• تقدیر معلمة الشکل  عندما تکون معلمة القیاس  معلومة.

لنفرض ان التوزیع الاولی یتبع توزیع کاما   والتی تأخذ الصیغة:

وبدمج المعادلة (31) مع المعادلة (14) وتعویضهم فی المعادلة (18) نحصل على:

وللحصول على مقدر بیز لمعلمة الشکل یتم اخذ التوقع اللاحق للمعادلة (32) نسبة للمعلمة :

وبالاعتماد على الطرق تقریب لندلی فی المعادلة (20) للوصول الى مقدر بیز معلمة الشکل لـ  والموضح صیغتها ادناه.

• تقدیر معلمة القیاس والشکل عندما یکونان غیر معلومین

ودمج المعادلة (14) الخاصة بدالة الامکان مع التوزیع الاولی  فی المعادلة (20) نحصل على:

للحصول على مقدر بیز لکل من المعلمتین یتم ایجاد التوزیع الهامشی لکل معلمة کالاتی:

وبالاعتماد على الطرق تقریب لندلی فی المعادلة (20) للحصول على مقدر بیز لمعلمة  القیاس والشکل  :

6- الجانب التطبیقی.

تم جمع البیانات من کلیة الهندسة فرع المختبرات من جامعة الموصل وتتألف هذه البیانات قیاس الجهد لمادة الاسمنت خلال مدة سبعة ایام لغرض تحدید متانة المادة وان وحدة قیاسها بـMpa  (Bilal et.al,2021)  قوامها 130 (http://uomosul.edu.iq/pages/ar/engineering/)، حیث تم اختبار ملائمة البیانات للتوزیع قبل عملیة دراسة خصائصها وتقدیر معلمة القیاس لها.

6-1 اختبار البیانات

تم اختبار ملاءمة البیانات لتوزیع وایبل وفق المختبرات الاحصائیة بالاستعانة ببرنامج Easy fit 5.5 بالاعتماد الى الفرضیة العدم  التی تؤکد ان البیانات تتبع توزیع وایبل والفرضیة البدیلة المعاکسة لها. وکانت نتائج المختبرات الثلاثة المبینة بالجدول(1):

جدول (1): اختبارات ملائمة البیانات الحقیقیة لتوزیع وایبل استنادا الى المختبرات الثلاثة

والشکل Q-Q plot یؤکد على ملاءمة البیانات لتوزیع وایبل بقیم معلمات ;  β=0.746 

الشکل(1)  طبیعة البیانات التی تلائم توزیع وایبل  Q-Q Plote

6-2 خصائص التوزیع

نلاحظ ان منحنى دالة توزیع وایبل یکون متزایدا ومن ثم متناقص وهذا النوع من المنحنیات یدل على ان الدالة هی دالة فشل المبینة فی الشکل (2) یوضح فیه دالة الکثافة للتوزیع مع توضیح الدالة التراکمیة للتوزیع ودالة البقاء التی تکون متناقصة من الواحد الى الصفر فضلاً عن دالة المخاطرة التی تأخذ منحنى غیر خطی.

الشکل(2)  رسم توضیحی لدالة الکثافة والدالة التراکمیة و دالة البقاء ودالة المخاطرة

3-6 ایجاد مقایس النزعة لتوزیع وایبل             

بعد التأکد من ملاءمة البیانات یتم حساب الوسط الحسابی و التباین و الالتواء و التفلطح والجدول ادناه یبین نتائج العملیات الحسابیة، حیث ان قیمة المعلمات تساوی:

الجدول (2) قیم الوسط الحسابی و الوسیط و المنوال و کل من الالتواء و التفلطح لتوزیع وایبل

ونلاحظ من الجدول اعلاه ان التوزیع ملتوی التواء موجب کون القیمة ذات اشارة موجبة و نلاحظ ان قیم التفلطح ذات ذیل خفیف و مستوی.

4-6 تقدیر معلمة القیاس لتوزیع وایبل ذو معلمتین بحالات مختلفة

استنادا الى الطرق التی تم دراستها فی تقدیر معلمة القیاس والشکل للتوزیع والمتمثلة بطریقة الامکان الاعظم  وطریقة Bayesian ذات معلومات قلیلة (Non-Informative)  وذات معلومات غنیة ای متوفرة المعلومات (Informative) تم الحصول على مقدر المعلمة القیاس  والشکل  بحالات مختلفة بالاعتماد على البیانات الحقیقیة المتمثلة بقیاس جهد مادة الاسمنت والجدول (3) یوضح نتائج التقدیر حیث تم وضع معیار متوسط مربعات الخطاء MSE لتحدید افضل طریقة للتقدیر.

الجدول (3) طرق تقدیر معلمة القیاس لتوزیع وایبل عندما تکون معلمة الشکل معلومة

نلاحظ من الجدول (3) نتیجة المقارنة ما بین طرق التقدیر المستخدمة تفوق اسلوب بیز عندما تکون المعلومات حول المعلمة القیاس  والشکل  متوفرة (Informative) وذلک لحصولها على اقل متوسط مربعات خطأMSE  وتفوق طریقة الامکان الاعظم فی التقدیر لحصولها على اقل متوسط مربعات خطأ MSE من اسلوب بیز عندما تکون المعلومات حول المعلمة القیاس  غیر متوفرة (Non-Informative).

7- الاستنتاجات: تعتبر النتائج التی تم التوصل الیها خاصة بالبیانات الحقیقة التی سحبت منها العینة. تطابق البیانات الحقیقیة مع توزیع وایبل من خلال المختبرات الاحصائیة المدروسة. الحصول على الاشکال البیانیة الخاصة للدراسة حسب طبیعة البیانات لها. ملاحظة ان الالتواء لطبیعة البیانات موجبة فضلاً عن تفلطح ذو ذیل خفیف و مستوی. الحصول على افضل مقدر لمعلمة القیاس بأسلوب بیز عندما تکون المعلومات متوفرة حول المعلمة القیاس  والشکل  (Informative) لجمیع الحالات التی تم دراتها من خلال حصوله على اقل MSE.