Modeling and analyzing banana prices in the city of Mosul using the ARFIMA model “Predictive Market Study

This study examined the use of ARFIMA models to forecast imported banana prices in the city of Mosul, based on data obtained from the Directorate of Agriculture in Nineveh for the period from 2018 to 2023. Several methods were used to estimate long memory and determine the fractional differencing parameter (d), including single-stage methods such as the maximum likelihood (EML) method used in this research, and two-stage methods such as the Geweke-Porter-Hudak (GPH) estimator, the dsprio (Smoothed periodogram estimation) method, the Fracdiff method, the Rescaled Range (R/S) method, and the Whittle estimator. The model was built by verifying the presence of long memory in the time series through several tests, and then estimating the fractional differencing parameters. The single-stage ARFIMA (1,-0.06275898,0) model outperformed the other methods based on criteria such as BIC, MSE, RMSE, and MAE. The model passed diagnostic tests and was used for forecasting banana prices, with the aim of clarifying the steps for constructing an appropriate model.

المقدمة

      يمثل نموذج الذاكرة الطويلة في السلاسل الزمنية بأن تأثير الصدمات أو التغيرات على متغيرات الظاهرة طويل الأمد وسيظهر أثره في عملية التنبؤ المستقبلية وتم مشاهدة أسلوب الذاكرة الطويلة في السلاسل الزمنية لأول مرة من قبل الباحث البريطاني (1951، Hurst). كما تطورت هذه الظاهرة فيما بعد في مجال الاقتصاد بعد أن تبين أن السلاسل الزمنية للعديد من الظواهر الاقتصادية لها ذاكرة طويلة. كان هنالك اهتمام دولي متزايد بدراسة نماذج الذاكرة الطويلة للسلاسل الزمنية، والتي تعتبر بدائل لنماذج ARIMA  لأنها تحقق الاستقرار من خلال أخذ الفروق الكسرية (المعاملات التفاضلية الكسرية d) للفترة المغلقة )0.5, 0.5-) ، وتتمثل أهميتها في أنها تسمح بتفسير كلاً من التقلبات قصيرة الأجل للسلسلة الزمنية من خلال معلمات الانحدار الذاتي والمتوسطات المتحركة، والتقلبات طويلة الأجل من خلال معلمة التكامل الكسري.

              تناولت العديد من الدراسات هذا النوع من النماذج وتطبيقها في العديد من المجالات المختلفة ومنها دراسة(MADOURI&Mohamed,2017)، " مقارنة بين نماذج الذاكرة الطويلة ARFIMA والشبكات العصبية الاصطناعية للتنبؤ بسعر صرف الدينار الجزائري" ، تناولت هذه الدراسة مقارنة نماذج الذاكرة الطويلة ARFIMA لسعر صرف الدينار الجزائري مقابل العملات الاجنبية والهدف من هذه الدراسة هي استخدام نماذج الذاكرة الطويلة والشبكات العصبية في التنبؤ بالنموذج الافضل . كذلك دراس(al , 2019  et. Safitir) "نمذجة أسعار الذهب في إندونيسيا باستخدام طريقة ARFIMA" ، يعتبر استثمار الذهب هو الخيار الافضل في التمويل ،الهدف من هذه الدراسة هو التنبؤ بأسعار الذهب في إندونيسيا حيث بيانات اسعار الذهب هي سلسلة زمنية ذات ذاكرة طويلة ARFIMA لها قيمة معلمة كسرية وتبين من هذه الدراسة كفاءة أسلوب  ARFIMA. دراسة (Ben, Ayaa,2022 Belmukaddam,) " التنبؤ بالبطالة في ظل وجود وباء كورونا في الجزائر باستخدام نماذج الذاكرة الطويلة ARFIMA خلال الفترة الزمنية 2008-2022" ، الهدف من هذه الدراسة هو تطبيق نموذج ARFIMA  للتنبؤ بمعدلات البطالة الشهرية حيث تعبر مشكلة البطالة عن وجود عجز في البنى الاقتصادية واظهرت نتائج هذه الدراسة أن النموذج (1,0.34,10)ARFIMA هو النموذج الافضل واستخدم للتنبؤ ل 15 شهراً.

هدف البحث:

        يهدف الى المقارنة بطرق تقدير المعلمة الكسرية (d) واختيار النموذج الافضل والتنبؤ بأسعار الموز المستورد في مدينة الموصل  .

2.الذاكرة الطويلة ARFIMA:

          أن النماذج الاساسية التي تسمح بتحديد الذاكرة الطويلة ،هي Autoregressive Integrated Moving Average (ARFIMA) ،(Hosking,1981_Granger and Joyeux,1980) وتعتبر امتداد لنماذج (ARFIMA) التي تأخذ معامل التفاضل الكسري d قيــماً حقيقيـــة للفــــترة( ,0.50.5-)، والصيغة الرياضية لنموذج ARFIMA يمكن التعبير عنها باستخدام علاقة (Wold ) بالشكل التالي:

: سلسلة زمنية.

 :  أوزان المتوسط المتحرك ،  .

   هي عملية التشويش الابيض وبالصورة الاتية Noise)  White  ) حيث أن:

Var(εt)=    _,E(εt)=0 , εt _~  i.i.d (0, )

وتعتبر السلسلة الزمنية ذات ذاكرة الطويلة وساكنة في حال:

وعليه يمكن القول ان اي سلسلة زمنية تكون نموذج ARFIMA (p,d,q) اذا تحقق الشرط التالي:

     يمثل كل من (Θ L),( Φ L) على التوالي كثيري الحدود في الجزئيين MA(q) ,AR(P) لنموذج p,q على الترتيب.  مؤثر الازاحة الخلفي ،d معامل التفاضل الكسري   .     

      كما أن خصائص نماذج ARFIMA  يمكن توضيحها تبعاً للقيم المختلفة لمعامل التفاضل الكسري d (Benguesmi , 2014) عندما d<1/2 والجذور كثيرة الحدود  تقع خارج جذور الوحدة , ففي هذه الحالة السلسلة y_t قابلة للانعكاس . وعندما  ، d<-1/2كل جذور الكثيرة الحدود المميزة  تقع خارج جذر الوحدة , ففي هذه الحالة السلسلة مستقرة  وعندما    0 < d <2 /1- تكون السلسلة yt  قابلة للانعكاس وبذاكرة قصيرة غير تامة . في حين    2 1 / < d <  0 تكون السلسلةy_t  سلسلة ساكنة بذاكرة طويلة (الاستقرار طويل الامد) ,وتكون مستمرة ايضاً حيث تتناقص دالة الارتباط الذاتي الموجبة بشكل بطيء نحو الصفر "على شكل قطع زائد" بكبر عدد الفجوات k.

(3) الكشف والتحقق عن الذاكرة الطويلة باستخدام الرسوم:

ا- رسم دالة الارتباط الذاتي ( "ACF" )

     هنالك العديد من الاشكال البيانية التي تعطي مؤشراً واضحاً على وجود الذاكرة الطويلة ،احدها هي دالة الارتباط الذاتي للسلاسل المستقرة والتي تعرف كالتالي :

حيث أن       ،    ،     =  تعتبر تقدير لمعامل دالة الارتباط الذاتي acf  ويعطى بالصيغة الاتية:

‌التناقص‌ البطيء‌ لدالة  ‌ACF  يعتبر‌ مؤشر‌على‌ وجود‌ ذاكرة طويلة للسلسلة .

ب – Plot")    "R/S )

     استخدمت ‌احصائية R/S لاختبار وجود ذاكرة ‌طويلة كالتالي (1951 ,Hurst):

حيث أن :

:R: تعبر عن المدى :S , تعبر عن الانحراف  : k , تعبر عن الفجوات عبر الزمن لتطبيق هذه الاحصائية بالرسم البياني لــ (R/S) رسم  مقابل  

 (4) التحقق من خاصية الذاكرة الطويلة باستخدام الاختبارات الأحصائية:

• اختبار R/S (Rescaled Range)

      استخدم (Hurst,1951) إحصائية يتم من خلالها فحص اذا كانت السلسلة الزمنية ذات ذاكرة طويلة (ارتباطات في المدى الطويل)، أذ أن الهدف من إحصائية R/S هي حساب معامل هورست وتعرف الاحصائية R/S على أنها المدى R للمجاميع الجزئية للانحرافات لسلسلة زمنية عن المتوسط مقسوماً على انحرافها المعياري S_{T .}

K : عدد المجاميع الجزئية بين المفردات للسلسلة y_t  و متوسطها الحسابي t ويسمح تحليل R/S  بحساب ما يسمى بمعامل هورست 1 H < < 0 والذي يعرف على أنه النسبة بين لوغاريتم R/S ولوغاريتم عدد المشاهدات T :

     وقد بين كل من (Hosking,1981),(Lo,1991) وجود علاقة قوية بين معامل التفاضل الكسري (d) لنماذج ARFIMA ومعامل هورست (H) حيث أن :

     ومن خلال العلاقة السابقة يمكن تحديد معلمة التفاضل الكسري d  وعرفة فيما اذا كانت السلسلة ذات ذاكرة طويلة ، وهذا حسب القيم المتغيرة للعامل H وكما يلي

• أ‌- عندما يكون d=0 في هذه الحالة لايوجد اي ارتباط بين الظواهر للأحداث الماضية      والحاضرة ,اي انه نموذج ARMA.
• ب‌- عندما يكون  ، عندها يعتبر نموذج ARFIMA مستقراً بذاكرة طويلة حيث تكون الارتباطات قوية كلما اقترب H من الواحد.
• ت‌- عندما يكون  في هذه الحالة السلسلة ذات ذاكرة طويلة وفي  نفس الوقت لاتسلك سلوك نماذج ARMA.

• أختبار Empirical Hurst Exponent

         تحليل Detrended Fluctuation Analysis ( DFA ) هو تحليل اقترحه (Peng et al.,1994) والذي تم قياس الاعتماد طويل المدى للسلسلة الزمنية باستخدام هذا الامتداد لتحليل التقلب الطبيعي؛  بحيث تقع قيمة Exponent Hurst بين 0 و1، ويمكن لتحليل DFA استخراج قيمة  Exponent Hurst أكبر من 1 وتشير هذه القيمة إلى عدم الاستقراريه ( Bryce .,al et,2012) ، حيث يقسم تحليل DFA السلسلة الزمنية تقسيم السلسلة الزمنية X للطول N إلى d فرعية من طول n, لكل تصنيف فرعي وبعد ذلك سيتم   تنفيذ الخطوات التالية ( 2017 , Ceballos and Largo):

إنشاء سلسلة زمنية تراكمية.

تقدير خط المربعات الصغرى.

حساب الجذر التربيعي لوسط السلسلة الزمنية المشتقة.

حساب قيمة الوسط للجذر التربيعي للمتوسطات للطول n من السلسلة الزمنية.

• اختبار (Whittle estimator)

      يتم تقدير معلمة التفاضل الكسري (d) باستخدام مقدر Whittle , يستند هذا المقدر على دالة periodograme  (Murad S.Taqqu and Teveovsky,1998) وتتبع الصيغة التالية :

       اذ أن  تمثل دالة periodograme و  دالة الكثافة الطيفية للتكرار وأن مقدر Whittle هو قيمة η التي تعمل على تقليل الدالة φ بحيث تعتبر ηفي عمليات ARFIMA المعلمة H او d  ، عندما تكون السلسلة الزمنية هي نموذج ARFIMA (p,d,q) فمن المفترض أن تكون η تشمل أيضاً المعاملات غير المعروفة من الانحدار الذاتي والمتوسطات المتحركة ،كما وان طريقة Whittle تختلف عن الطرق الاخرى اذ انها ليست طريقة بيانية وتعتبر من الطرق المعلمية كما وضح (Fox and Taqqu,1986)  المستخدم لتقدير معلمة التفاضل الكسري d ويرمز لها  في بعض الاحيان .

5.تقدير نماذج (ARFIMA)

      يوجد أسلوبين من الطرق لتقدير نماذج (ARFIMA) ، حيث قسمت هذه الطرق الى طرق ذات المرحلتين بحيث يتم تقدير معلمة التفاضل الكسري (d)  ومن ثم تقدير معلمات ARMA ،وطريقة التقدير بمرحلة واحدة حيث تقدر معلمة التفاضل الكسري بالتزامن مع تقدير معلمات ARMA وتعتبر طرق التقدير بمرحلة واحدة من اكثر الطرق فعالية وتتطلب هذه الطريقة ان تكون السلسلة مستقرة او تحويلها الى مستقرة ومن هذه الطرق (EML) Exact Maximum Likelihood   والتي تعتبر من أكثر الطرق فعالية لتقدير معلمة الفرق الكسري (d) بالموازة مع معلمات AR,MA لنموذج ARFIMA  وشرط هذا النموذج أن تكون السلسلة مستقرة أو يتم تحويلها الى مستقرة وتسمح هذه الطريقة باستخدام كل المعلومات الطويلة الاجل والقصيرة الاجل المرتبطة بالسلسلة الزمنية .

أما طرق التقدير ذات المرحلتين نستعرض فيما يلي بعض منها :

• طريقة ( Geweke _Porter_Hudak estimator ):

       هذه الطريقة اقترحها  Geweke و Porter وهي عبارة عن مقدر شبه حدودي للمعلمة d بالاعتماد الى احداثيات المخطط الدوري الاول  بالنسبة الى ARFIMA (p,d,q) أحادي المتغير كما ذكر في (Shang, 2020, Geweke and Hudak,1983 ).

حيث أن :

   ,  J=

• طريقة dsprio (Smoothed priodogram estimation):

        أثبت كلاً من (Brockuell,and Davis,2009) أن دالة priodogram هي مقدر غير متسق لدالة الكثافة الطيفية ,لذلك اقترح (Reisen,1994) استخدام مقدر متسق وهو دالة ممهدة من دالة  priodogram , وبداية يجب تعريف دالة الممهد بالصيغة الاتية:

حيث أن:

     ويشار لهذا المقدر ب , ويتم الحصول على مقدر الانحدار بواسطة( By the smoothed periodogram function with the parzen lag window ) مع نافذة تأخر parzen ويرمز لها I_S(.):

  حيث أن K(.) هي تأخر نافذة Parzen وتكون بالشكل الاتي:

    كما يعرف بالمخطط الدوري الممهد وبمقارنة المعادلة السابقة بمعادلة خط الانحدار كما في الطريقة السابقة لنحصل على تقدير d بالكيفية نفسها من خلال طريقة المربعات الصغرى ols التي تصغر دالة الخسارة للبواقي  .

• طريقة (Fracdiff):

       احدى الطرق المستخدمة في تقدير معلمة التفاضل الكسري d وتعتمد على استخدام مقدر ML (Maximum Likelihood Method) لإيجاد مقدرات نموذج ARFIMA (p,d,q)  وتقدير التغاير ومصفوفة الارتباط والخطأ المعياري بالإضافة الى قيمة الارجحية العظمى (Likelihood) وهذه الطريقة تكون دقيقة وسريعة التقدير (Haslett and Raftery,1989). وقد بينت التجارب أن نتائج تقديرML غير متحيزة وفعالة في حالة استخدام بيانات محدودة الحجم بحجم العينة 100, ويتم تقدير معلمة التفاضل الكسري d بالصيغة التالية :

حيث أن  معلمات النموذج ، مقدر ,R  مصفوفة ارتباط المتجه .

.6 بناء نموذج ARFIMA

     أي عملية بناء نموذج تتضمن عدد من الخطوات، لذلك سوف نقوم بعرض هذه المراحل والتي سوف نقوم بتطبيقها في الجانب التطبيقي.

• التعرف والتقدير

            ان العثور على النموذج الاولي المثالي هو الخطوة الاولى في تحليل سلاسل الزمنية يعد تحديد رتبه النموذج ضرورياً لتحديد النموذج الافضل ، اي تحديد درجات الانحدار الذاتي وعدد الفروق كما تعد مرحله التعرف من اهم واصعب المراحل في مجال السلاسل الزمنية بصفة خاصة وفي   مجال الاحصاء بصفه عامة (Shaarawy,2005) ، وتتضمن خطوه التعرف على النموذج عدة خطوات وهي تقدير معلمتي (p,q) من خلال التحقق من شكل دالة الارتباط الذاتي(ACF) وداله الارتباط الذاتي الجزئي (PACF) والتي يتم من خلالها حساب عدد الارتباطات الذاتية حيث يستخدم ACF لتحديد رتبة (AR)،و تستخدم دالة PACF لتحديد رتبة  MAالمعنويه لتشكيل وتحديد معلمة (q).

        المرحلة الثانية والتي تأتي بعد اختيار النموذج الافضل للسلسلة هي عمليه تقدير النموذج وعلينا ان نضمن دقه تقدير النموذج حتى يتمكن من تحقيق الهدف الاساسي منه وهو التنبؤ، بعد ايجاد وتحديد رتبه النموذج ومدى قابليته للتطبيق على السلسلة الزمنية أهم طرق التقدير هي طرق ذات المرحلة الواحدة والمرحلتين والتي تم شرحها سابقاً .

• التشخيص (Diagnostic)

        تعتبر هذه المرحلة من اهم المراحل المتبعة في تطوير النموذج لتوفير امكانية تطبيق معلومات النموذج للتنبؤ من خلال ملائمة معلماتها مع الفرضيات الإحصائية بحيث يعتمد تشخيص النموذج بصوره عامه على اجراء العديد من الاختبارات (2005,Shaarawy) ومنها اختبار وتحليل الاستقرار يه من خلال فحص تقديرات معاملات الارتباط الذاتي التي تم الحصول عليها من مرحلة التقدير   (الشعراوي,2005).

       هناك عده اختبارات لفحص جذر الوحدة والتأكد من الاستقراريه وتحديد رتبه كل متغير على حدة من هذه الاختبارات اختبار ديكي_فولر(Dickey and Fuller _1979)، اختبار ديكي _ فولر الموسع ((Augmented Dickey _Fuller test،و اختبار PP (Phillip and Peron) وهو افضل وادق من اختبار ADF وخاصة عندما يكون حجم العينة صغير ومن الافضل الاعتماد على نتائج اختبار PP في حالة عدم الانسجام في نتائج الاختبارين.

       الخطوة التالية هي تحليل البواقي حيث يتم تعريفها على أنها الفرق بين المشاهدات الفعلية والقيم المتوقعة وبفحص النموذج نحاول التأكد من ان لها نفس صفات التباينات العشوائية البحتة التي يعتقد انها مستقله ولها توزيع طبيعي بمتوسط صفر وتباين ثابت والتحقق من توفر الخصائص يتم بإجراء رسم البواقي وأختبار دالة الارتباط الذاتي والذاتي الجزئي للبواقي. واختبار Ljung_Box ))  يقوم هذا الاختبار على اختبار الفروض   اي البواقي مستقلة والفرضية البديلة H_1:  البواقي غير مستقلة ويطبق اختبار Ljung_Box للتأكد من عشوائية السلسلة الزمنية ويتم عبر معاملات الارتباط الذاتي للبواقي لمجموعة من الازاحات كما قام كل من (Pierce and Box,1970) بتقديم الإحصائية  Qلا جراء اختبار معنويه عدد من معاملات الارتباط الذاتي كمجموعة واحدة وكما موضح بالمعادلة التالية والتي تتبع توزيع  بدرجه حريه m .

 قام Ljung_Box بإجراء بعض التعديلات والتغييرات على إحصائية  ولنفس التوزيع ودرجة حرية m لتكون بشكل الاتي:

     حيث أن n حجم العينة ،r معامل الارتباط ، k درجات الحرية، ولهذا الاختيار عيوب ومنها تأثره بعدد معاملات الارتباط الذاتي للعينة المستخدمة والتي تتغير بتغير عدد المعاملات.

7. التنبؤ (Forecasting):

        التنبؤ هو المرحلة الأخيرة من مراحل التحليل السلاسل الزمنية ولا يمكن الوصول اليها الا بعد الاختبارات الخاصة بتشخيص النموذج ، وبعد الحصول على نموذج ملائم لتمثيل البيانات يصبح النموذج جاهزا لاستخدامه للتنبؤ بالقيم المستقبلية (2012,Tuama) تستخدم في هذه المرحلة معايير او (مقاييس تقييم) التي توصلنا الى دقه النموذج وقدرته على انتاج بيانات كفؤة فيما يلي بعض من هذه المعايير:

 اولا: معيارBIC (Bayesian information criterion)

      قام الباحث Akaike في عام ( 1978 _1979) بتطوير وتحديث معيارAIC لنحصل على معيار BIC وصيغته الرياضية بالشكل الاتي:

 حيث ان (M , n) عدد مشاهدات السلسلة والعدد الكلي لمعلمات النموذج على التوالي،  متوسط مربعات الاخطاء،  القيمة الاقل معيار BIC تمثل النموذج المناسب لبيانات السلسلة.

 ثانيا: جذر متوسط مربعات الاخطاء(RMSE)

     الاخطاء هي الفرق بين القيم الفعلية(الحقيقية) والقيم التقديرية ويشار اليها   حيث  اي تمثل القيم الحقيقية للمشاهدات  القيم المتوقعة بعد تحديد البواقي يمكننا حساب RMSE وفق الصيغة التالية:

 ومن مميزات هذا المعيار سهوله خصائصه الإحصائية  لذلك يعتبر من اهم وافضل المعايير التي تقيس دقه التنبؤ.

 ثالثا: متوسط الخطأ المطلق (Mean absolute error)

 الصيغة الرياضية لهذا المقياس هي كالاتي:

 حيث  تمثل البواقي ,   المشاهدات الحقيقية للسلسلة ،  القيم المقدرة ،n  عدد المشاهدات الكلي

الجانب التطبيقي

وصف بيانات السلسلة المدروسة :

      تم الحصول على بيانات السلسلة الزمنية لسعر أحدى المحاصيل الزراعية من مديرية زراعة نينوى وللفترة من شهر كانون الثاني 2018 لغاية  كانون الاول 2023 و بشكل اسبوعي وتبلغ 288 مشاهدة سنقوم بتحليل السلسلة لبناء نموذج ARFIMA   وسوف نقوم بتحليل سعر محصول الموز المستورد وايجاد التنبؤ لــــــ 12 قيمة ويتم مقارنتها مع القيم الحقيقية لمعرفة دقة التنبؤ .

مراحل منهجية ARFIMA:

1.فحص استقرارية السلسلة:

       سنقوم برسم السلسلة الزمنية لبيانات سعر محصول الموز المستورد  ورسم دالة الارتباط الذاتي ودالة الارتباط الذاتي الجزئي تهدف هذه الخطوة الى فحص استقرارية السلسلة الزمنية ، واجراء التحويلات اللازمة في حالة عدم استقرارها,يوضح الشكل (1) سعر الموز المستورد في مدينة الموصل والذي اتضح منه ان السلسلة الزمنية موضع الدراسة غير مستقرة ,وللتأكد نقوم برسم كل من دالتي  ACF,PACF)),والموضحة بالشكل(2).

الشكل(1) السلسلة الزمنية لسعر الموز

الشكل(2) الارتباط الذاتي والارتباط الذاتي الجزئي لسعر الموز

            نلاحظ من خلال رسم  كل من ACF,PACF أن السلسلة غير مستقرة كما وأنه من المعروف ان هناك اختبارات لفحص استقراريه السلسلة الزمنية ، وسيتم ذلك من خلال اختبار ديكي _فولر الموسع (ADF) ، واختبار فيليب _بيرن (PP) ويوضح الجدول هذه الاختبارات .

الجدول (1) اختبارات التحقق من استقراريه السلسلة

تبين من معطيات الجدول اعلاه ان الدلالة الاحصائية P-value لاختبار ADF بلغت (0.562) وهي اكبر من 0.05 ،وكذلك لاختبار فيليب_ بيرن بلغت (0.2188) أي ان P-value> 0.05 وهذا يعني ان السلسلة  الزمنية غير مستقرة.

2-اختبارات الذاكرة الطويلة:

  كما نعلم ان هناك العديد من الاختبارات الاحصائية والرسوم البيانية لاختبار وجود الذاكرة الطويلة في تحليل السلاسل الزمنية وفيما يلي

 مجموعة من هذه الاختبارات.

جدول (2) اختبار الذاكرة الطويلة

        لوحظ من الجدول أن قيمة 1/2 < H <1فأن السلسلة الزمنية تتميز بذاكرة طويلة  وأن الارتباطات تكون قوية كلما اقترب  H من الواحد  

3. طرق تقدير معامل الفرق الكسري (d)

       فيما يلي تقدير معامل التفاضل الكسري بطرق مباشرة وغير مباشرة حيث تعتمد على  معامل هورست H    و تحسب  قيمة d في اختبارR/S, Whittle حسب الصيغة  d=H-1/2 , وفي  الطرق المباشرة يتم حساب d مباشرةً مثل اختبارdSperio , Gph ,  , Fracdiff.

الجدول(3) طرق تقدير (d)

  يتم استثناء طريقة  Gph,  dSperio لأن قيمة d تقع خارج الفترة (0 , 0.5) ، بينما الطرق المتبقية تقع ضمن حدود الفترة (0 , 0.5) .

4.مرحلة التعرف:

      تعد هذه الخطوة مهمة وهي اولى مراحل تحليل السلاسل الزمنية حيث نتعرف من خلالها على النموذج ,أي اختيار رتب النموذج (p,d,q) ولكون السلسلة غير  مستقرة سنستخدم معامل التفاضل الكسري d التي حصلنا عليه من الطرق المذكورة سابقأ       من الجدول (3) يتضح لنا نتائج تقدير معامل التفاضل الكسري حيث كانت قيمة d بطريقة R/S  (0.2484858) وبطريقة Empirical Hurst exponent (0.2232992) وبطريقة Theoretical Hurst exponent (0.0174121 ) وبطريقة GPH (1.342017) وتبين فشل هذه الطريقة في تقدير الفرق الكسري حيث لم تقع ضمن الفترة ( 0,0.5 ) ، وكذلك فشلت بطريقة dsperio والتي تساوي (0.6107118) لاتقع ضمن الفترة ,وقيمة الفرق بطريقة (Fracdiff (0.4796818 ، وبطريقة whittle (0.447) .

       نقوم باختبار استقرارية السلسلة بعد اخذ الفروق الكسرية الخمسة التي نجحت باختبار الذاكرة الطويلة باستخدام اختبار PP وذلك لكونه افضل وأدق من اختبار ADF .

الجدول (4) نتائج اختبار PP للسلسلة بعد اجراء الفروق الكسرية للطرق السابقة

       تثبت نتائج اختبارات pp  المبينة في الجدول (3) أن السلسلة الزمنية مستقرة ويمكن استخدامها في بناء نماذج ARFIMA حيث أن القيمة المعنوية لاختبار  الطرق الخمسة كانت اصغر من 0.05 كما سيتم رسم السلسلة الزمنية بعد اخذ الفروق الكسرية الخمسة وكذلك رسم  ACF ,PACFلنتحقق من تأثير الفروق الكسرية عليها ومدى تحقق الاستقراريه

الشكل(3) السلسلة الزمنية بعد اخذ الفرق الكسري لاختبار R/S لمحصول الموز

(A)                                                 (B)

الشكل(4) A يمثل الارتباط الذاتي وB الارتباط الذاتي الجزئي لسعر الموز بعد اخذ الفرق الكسري لاختبار R/S

الشكل( 5 ) السلسلة الزمنية بعد اخذ الفرق الكسري لاختبار Empirical Hurst exponent لمحصول الموز

(A)                                                 (B)

الشكل (6) A يمثل الارتباط الذاتي وB الارتباط الذاتي الجزئي لسعر الموز بعد اخذ الفرق الكسري لاختبار Empirical Hurst exponent

الشكل (7) السلسلة الزمنية بعد اخذ الفرق الكسري لاختبار Theoretical Hurst exponent لمحصول الموز

(A)                                               (B)

الشكل(8) A يمثل الارتباط الذاتي وB الارتباط الذاتي الجزئي لسعر الموز بعد اخذ الفرق الكسري لاختبار Theoretical Hurst exponent

الشكل (9) السلسلة الزمنية بعد اخذ الفرق الكسري لاختبار Fracdiff لمحصول الموز

                                            (A)                                                         (B)

الشكل(10) A يمثل الارتباط الذاتي وB الارتباط الذاتي الجزئي لسعر الموز بعد اخذ الفرق الكسري لاختبار Fracdiff

الشكل(11) السلسلة الزمنية بعد اخذ الفرق الكسري لاختبار Whittle لمحصول الموز

                                                 (A)                                                         (B)

الشكل(12) A يمثل الارتباط الذاتي وB الارتباط الذاتي الجزئي لسعر الموز بعد اخذ الفرق الكسري لاختبار Whittle

5.التشخيص والتقدير:

       الهدف من هذه الخطوة هو تحديد واحد أو أكثر من نماذج ARFIMA من خلال معرفة رتبة AR(P)  ورتبة MA(q) حيث سنستخدم معيار (BIC) لمقارنة النماذج ولتقدير الطرق المستخدمة للفروقات  الكسـرية.

الجدول (5) تقدير نماذج ARFIMA بطريقة المرحلتين

        لوحظ من خلال الجدول (4) عند الفرق الكسري d=0.2484858 وبالمفاضلة بين النماذج حسب معيار (BIC) تبين ان النموذج  ARFIMA(1,d,0) هو افضل نموذج بطريقة R/S وذلك لكونه يمثل اقل قيمة معيار (BIC)  حيث كانت القيمة (682.7829) ، وعند الفرق الكسري 0.2232992d= تبين ان النموذج  (ARFIMA(1,d,0 هو افضل بطريقة Hurst  exponent Empirical والذي يمثل اقل قيمة معيار (BIC) حيث كانت القيمة (682.6296) ، وعند الفرق الكسري 0.0174121=d تبين ان النموذج  (ARFIMA(1,d,0 هو افضل بطريقة  Theoretical Hurst  exponent والذي يمثل اقل قيمة معيار (BIC) حيث كانت القيمة (681.2809)، وعند الفرق الكسري 0.4796818= d حيث تبين ان النموذج ARFIMA (1,d,0) بطريقة Fracdiff هو افضل نموذج حيث يمثل اقل قيمة لمعيار(BIC) وعند الفرق الكسري  d=0.447 حيث تبين ان النموذج ARFIMA(1,d,0) بطريقة Whittle هو افضل نموذج حيث يمثل اقل قيمة لمعيار(BIC) .  

    سنقوم الأن باستخدام طريقة التقدير ذات المرحلة الواحدة وذلك من خلال تحديد الفرق الكسري (d) وتقدير معلمات النموذج AR(p) ، MA(q) كما هو موضح بالجدول (5)

(6) تقديرنماذج ARFIMA بطريقة المرحلة الواحدة

      يلاحظ من معطيات الجدول السابق وعند المفاضلة بين النماذج حسب معيار (BIC) تبين ان النموذج   (0,   (1,- 0.06275898 هو افضل نموذج  وذلك لكونه يمثل اقل قيمة معيار (BIC)  حيث كانت القيمة  هي (680.7693) .

(7) مقارنة نماذج ARFIMA بطريقة المرحلتين والمرحلة الواحدة

 بمقارنة نماذج تقدير الذاكرة الطويلة ذات المرحلتين مع الذاكرة الطويلة ذات المرحلة الواحدة يتبين ان افضل نموذج هو (1, - 0.06275898 ,0) بطريقة التقدير ذات المرحلة الواحدة حيث تمتلك اقل معيار  BICوكذلك اقل قيمة لل MSE ,RMSE,MAB  .

جدول(8) تقدير معلمات النموذج (0, - 0.06275898,1  )

كما أن الصيغة الرياضية للنموذج (1,  - 0.06275898 ,0  ) ARFIMA  تكون كالتالي :

• تحليل البواقي (ARFIMA(1, - 0.06275898 ,0:

يعتبر تحليل البواقي أهم مرحلة لمعرفة مدى ملائمة النموذج ARFIMA(1,0.0000458,0) لاستخدامه في التنبؤ ومن خلال الشكل (16) لرسم البواقي نلاحظ أنها تتأرجح بشكل ثابت حول الصفر .

الشكل(13) منحنى البواقي لبيانات السلسلة المدروسة

من الصعوبة الحكم على شكل البواقي لذلك نستعين برسم دالة ACF ودالة PACF .

(A)                                                  (B)

الشكل( 14)A دالة الارتباط الذاتي للبواقي B دالة الارتباط الذاتي الجزئي للبواقي

        ومن الشكل السابق نجد أن جميع معاملات الارتباط الذاتي والارتباط الذاتي الجزئي للبواقي تقع ضمن فترة حدود الثقة ، وهذا يعني عدم ارتباط بواقي هذا النموذج مع بعضها (الاخطاء الناتجة عشوائية ) مما يدل على سكون البواقي .

اختبار Ljung  _Box

أدناه جدول يبين نتائج الاختبار لبواقي النموذج  (1,- 0.06275898,0) :

جدول (9) اختبار Ljung  _Box

نلاحظ أن القيمة المعنوية  > 0.05 p-value ، وهذا يعني أن البواقي مستقلة وأن النموذج قد أجتاز التشخيص .

5.التنبؤ: التنبؤ بالنموذج (  ARFIMA(1, - 0.06275898 ,0

       بعد اختيار ARFIMA(1, - 0.06275898 ,0) كأفضل نموذج في التشخيص وأفضل نموذج ممثل للبيانات قمنا باستخدامه للتنبؤ وسيكون التنبؤ ل 12 قيمة ومن ثم مقارنتها مع القيم الحقيقية وكما مبين في الجدول أدناه

الجدول (10)القيم المتنبأ بها ل12 قيمة

نلاحظ من الجدول(10) أن القيم المتنبأ بها اعطت قيم قريبة من القيم الحقيقي